已知f(x)满足 lim _(xarrow 1)dfrac (f(x))(ln x)=1, 则 () .-|||-(A) f(1)=0 (B) lim _(xarrow 1)f(x)=0 (C) '(1)=1 (D) lim _(xarrow 1)f'(x)=1

第一题：已知$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {f(x)}{\ln x}=1$的判断

题目分析：考察极限的性质（无穷小量等价代换、极限存在的条件）。

关键思路：

• 分母$\lim _{x\rightarrow 1}\ln x=0$（因为$\ln1=0$），而整个分式的极限为1（非零常数），根据“若$\lim\frac{A}{B}=C\neq0$且$\lim B=0$，则$\lim A=0$”，可直接推出$\lim _{x\rightarrow 1}f(x)=0$。
• 选项A：$f(1)=0$不一定成立，因为极限存在不代表函数在该点有定义（即使有定义也可能不等于极限），故故A错误。
• 选项C：$f'(1)=1$无法推出，因为题目未给出$f(x)$可导的条件，仅知极限，故C错误。- 选项D：$\lim _{x\rightarrow 1}f'(x)=1$也无法推出，极限存在不涉及导数信息，故D错误。

第二题：求$\alpha$的取值范围使$\lim _{x\rightarrow +\infty }F(x)=0$和$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}F(x)=0$

题目分析：考察变限积分的求导（洛必达法则）、无穷小量阶的比较。

关键思路：

1. $x\rightarrow +\infty$时的极限：

   • $F(x)=\frac{\int_{0^x\ln(1+t^2)dt}{x^\alpha}$，分子分母均趋向无穷（$\frac{\infty}{\infty}$型），用洛必达法则：
   • 分子导数：$\frac{d}{dx}\int0^x\ln(1+t^2)dt=\ln(1+x^2)\sim x^2$（$x\to\infty$时）；分母导数：$\alpha x^{\alpha-1}$。
   • 极限化为$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}/{\alpha x^{\alpha-1}}=\frac{1}{\alpha}\lim_{x\to\infty}x^{3-\alpha}$，要使极限为0，需$3-\alpha<0\Rightarrow\alpha>1$。

2. $x\rightarrow0^+$时的极限：

   • 分子$\int0^x\ln(1+t^2)dt\sim\int0^xt^2dt=\frac{x^3}{3}$（等价无穷小$\ln(1+t^2)\simt^2$）；分母$x^\alpha$。
   • 极限化为$\lim_{x\to0^+}\frac{x^3/3}{x^\alpha}=\frac{1}{3}\lim_{x\to0+}x^{3-\alpha}$，要使极限为0，需$3-\alpha>0\Rightarrow\alpha<3$。

3. 综上：$1<\alpha<3$**。