10.(判断题，10分)设f(x)是定义在(-∞,+∞)内的任意函数,则f(x³)必是奇函数( )A. 对B. 错

本题考查函数奇偶性的判断。解题的关键在于根据奇函数的定义，判断对于函数$f(x^{3})$，是否满足$F(-x)= -F(x)$，其中$F(x)=f(x^{3})$。

1. 首先明确奇函数的定义：
   • 对于一个定义域关于原点对称的函数$F(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$F(-x)= -F(x)$，那么函数$F(x)$就叫做奇函数。
2. 设$F(x)=f(x^{3})$，其定义域为$(-\infty,+\infty)$，关于原点对称。
   • 计算$F(-x)$：
     • 将$-x$代入$F(x)$中，可得$F(-x)=f((-x)^{3})$。
     • 根据幂的运算法则$(-a)^{n}$，当$n$为奇数时，$(-a)^{n}=-a^{n}$，因为$3$是奇数，所以$(-x)^{3}=-x^{3}$，则$F(-x)=f(-x^{3})$。
3. 然后分析$F(-x)$与$-F(x)$的关系：
   • 已知$F(x)=f(x^{3})$，那么$-F(x)= - f(x^{3})$。
   • 一般情况下，$f(-x^{3})$并不一定等于$-f(x^{3})$。例如，当$f(x)=x^{2}$时，$F(x)=f(x^{3})=(x^{3})^{2}=x^{6}$，$F(-x)=f((-x)^{3})=((-x)^{3})^{2}=x^{6}$，此时$F(-x)=F(x)$，函数$F(x)$是偶函数，不是奇函数。所以“设$f(x)$是定义在$(-\infty,+\infty)$内的任意函数，则$f(x^{3})$必是奇函数”这一说法是错误的。