10.计算定积分int_(-1)^1x(sin x^2+5x^3)dx=A. 0B. 1C. 2D. 3

本题考查定积分的计算，解题思路是先利用定积分的性质将被积函数拆分成两个定积分的和，再分别判断这两个定积分的奇偶性，根据奇偶函数在对称区间上的定积分性质进行计算。

步骤一：利用定积分的性质拆分定积分

根据定积分的性质$\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{a}^{b}g(x)dx$，将$\int_{-1}^{1}x(\sin x^{2}+5x^{3})dx$拆分成：
$\int_{-1}^{1}x(\sin x^{2}+5x^{3})dx=\int_{-1}^{1}(x\sin x^{2}+5x^{4})dx=\int_{-1}^{1}x\sin x^{2}dx + \int_{-1}^{1}5x^{4}dx$

步骤二：判断$f(x)=x\sin x^{2}$的奇偶性并计算其定积分

设$f(x)=x\sin x^{2}$，其定义域为$R$关于原点对称，且$f(-x)=(-x)\sin (-x)^{2}=-x\sin x^{2}=-f(x)$，所以$f(x)$是奇函数。
根据奇函数在对称区间$[-a,a]$上的定积分性质$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0$，可得$\int_{-1}^{1}x\sin x^{2}dx = 0$。

步骤三：判断$g(x)=5x^{4}$的奇偶性并计算其定积分

设$g(x)=5x^{4}$，其定义域为$R$关于原点对称，且$g(-x)=5(-x)^{4}=5x^{4}=g(x)$，所以$g(x)$是偶函数。
根据偶函数在对称区间$[-a,a]$上的定积分性质$\int_{-a}^{a}g(x)dx = 2\int_{0}^{a}g(x)dx$，可得$\int_{-1}^{1}5x^{4}dx = 2\int_{0}^{1}5x^{4}dx$。
计算$2\int_{0}^{1}5x^{4}dx$：
根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}kf(x)dx = k\int_{a}^{b}f(x)dx$（$k$为常数），可得$2\int_{0}^{1}5x^{4}dx = 2\times5\int_{0}^{1}x^{4}dx$。
再根据定积分基本公式$\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得$2\times5\int_{0}^{1}x^{4}dx = 10\times[\frac{1}{5}x^{5}]_{0}^{1}$。
计算$10\times[\frac{1}{5}x^{5}]_{0}^{1}=10\times(\frac{1}{5}\times1^{5}-\frac{1}{5}\times0^{5}) = 10\times\frac{1}{5}= 2$。

步骤四：计算原积分的值

将$\int_{-1}^{1}x\sin x^{2}dx = 0$和$\int_{-1}^{1}5x^{4}dx = 2$代入$\int_{-1}^{1}x(\sin x^{2}+5x^{3})dx=\int_{-1}^{1}x\sin x^{2}dx + \int_{-1}^{1}5x^{4}dx$，可得：
$\int_{-1}^{1}x(\sin x^{2}+5x^{3})dx = 0 + 2 = 2$