设f(x)={}2e^-x,&xleq06a+x,&x>0.，在点x=0处极限存在，则常数a=
题目解答
答案
计算左极限： 当 $ x \to 0^- $ 时，$ f(x) = 2e^{-x} $， $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2e^0 = 2.$ 计算右极限： 当 $ x \to 0^+ $ 时，$ f(x) = 6a + x $， $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 6a.$ 极限存在条件： $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) \implies 2 = 6a \implies a = \frac{1}{3}.$ 答案： $\boxed{\frac{1}{3}}$
解析
本题考查分段函数在某点处极限存在的条件。解题思路是分别计算函数在该点处的左极限和右极限，然后根据函数在某点处极限存在的充要条件，即左极限等于右极限，来确定常数 $a$ 的值。
步骤一：计算左极限
当 $x \to 0^-$ 时，意味着 $x$ 从小于 $0$ 的方向趋近于 $0$，此时函数 $f(x)$ 应使用 $f(x)=2e^{-x}$ 这一段进行计算。
根据极限的运算法则，$\lim_{x \to 0^-} f(x)=\lim_{x \to 0^-} 2e^{-x}$。
因为指数函数 $y = e^x$ 是连续函数，所以可以将极限符号与函数符号交换顺序，即 $\lim_{x \to 0^-} 2e^{-x}=2\lim_{x \to 0^-} e^{-x}$。
当 $x \to 0^-$ 时，$-x \to 0^+$，而 $e^0 = 1$，所以 $2\lim_{x \to 0^-} e^{-x}=2e^0 = 2$，即 $\lim_{x \to 0^-} f(x)=2$。
步骤二：计算右极限
当 $x \to 0^+$ 时，意味着 $x$ 从大于 $0$ 的方向趋近于 $0$，此时函数 $f(x)$ 应使用 $f(x)=6a + x$ 这一段进行计算。
根据极限的运算法则，$\lim_{x \to 0^+} f(x)=\lim_{x \to 0^+} (6a + x)$。
因为常数的极限就是其本身，所以 $\lim_{x \to 0^+} 6a = 6a$，而 $\lim_{x \to 0^+} x = 0$，根据极限的加法法则 $\lim_{x \to 0^+} (6a + x)=\lim_{x \to 0^+} 6a + \lim_{x \to 0^+} x = 6a + 0 = 6a$，即 $\lim_{x \to 0^+} f(x)=6a$。
步骤三：根据极限存在的条件确定 $a$ 的值
函数 $f(x)$ 在点 $x = 0$ 处极限存在的充要条件是左极限等于右极限，即 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$。
由前面计算可知 $\lim_{x \to 0^-} f(x)=2$，$\lim_{x \to 0^+} f(x)=6a$，所以 $2 = 6a$。
求解上述方程，两边同时除以 $6$，可得 $a = \frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。