题目
曲面z=sqrt(x^2+y^2)与z=x^2+y^2所围成空间立体的体积为____.A. (1)/(2)piB. (1)/(6)piC. (1)/(4)piD. (1)/(3)pi
曲面$z=\sqrt{x^2+y^2}$与$z=x^2+y^2$所围成空间立体的体积为____.
A. $\frac{1}{2}\pi$
B. $\frac{1}{6}\pi$
C. $\frac{1}{4}\pi$
D. $\frac{1}{3}\pi$
题目解答
答案
B. $\frac{1}{6}\pi$
解析
步骤 1：转换为极坐标系
将曲面方程转换为极坐标系，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则两曲面方程变为 $z = r$ 和 $z = r^2$。
步骤 2：求交点
求交点得 $r = 0$ 或 $r = 1$，即积分区域为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
步骤 3：体积积分表达式
体积积分表达式为： \[ V = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (r - r^2) r \, dr = 2\pi \int_0^1 (r^2 - r^3) \, dr = 2\pi \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\pi}{6} \]
将曲面方程转换为极坐标系，其中 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则两曲面方程变为 $z = r$ 和 $z = r^2$。
步骤 2：求交点
求交点得 $r = 0$ 或 $r = 1$，即积分区域为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
步骤 3：体积积分表达式
体积积分表达式为： \[ V = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (r - r^2) r \, dr = 2\pi \int_0^1 (r^2 - r^3) \, dr = 2\pi \left[ \frac{r^3}{3} - \frac{r^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\pi}{6} \]