题目
[题目]函数 (x)=(dfrac (1)(1+{e)^x}-dfrac (1)(2))ln dfrac (1-x)(1+x) 是 ()-|||-A.奇函数-|||-B.偶函数-|||-C.非奇非偶
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义域
首先，确定函数的定义域。由于 $\ln \dfrac{1-x}{1+x}$ 要求 $\dfrac{1-x}{1+x} > 0$，解得 $-1 < x < 1$。因此，函数的定义域为 $(-1, 1)$。
步骤 2：奇偶性判断
为了判断函数的奇偶性，我们需要计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 进行比较。
$$
f(-x) = \left(\dfrac{1}{1+e^{-x}} - \dfrac{1}{2}\right) \ln \dfrac{1+x}{1-x}
$$
注意到 $\dfrac{1}{1+e^{-x}} = \dfrac{e^x}{1+e^x}$，因此
$$
f(-x) = \left(\dfrac{e^x}{1+e^x} - \dfrac{1}{2}\right) \ln \dfrac{1+x}{1-x}
$$
$$
= \left(\dfrac{1}{1+e^x} - \dfrac{1}{2}\right) \ln \dfrac{1-x}{1+x}
$$
$$
= f(x)
$$
因此，$f(x)$ 是偶函数。
首先，确定函数的定义域。由于 $\ln \dfrac{1-x}{1+x}$ 要求 $\dfrac{1-x}{1+x} > 0$，解得 $-1 < x < 1$。因此，函数的定义域为 $(-1, 1)$。
步骤 2：奇偶性判断
为了判断函数的奇偶性，我们需要计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 进行比较。
$$
f(-x) = \left(\dfrac{1}{1+e^{-x}} - \dfrac{1}{2}\right) \ln \dfrac{1+x}{1-x}
$$
注意到 $\dfrac{1}{1+e^{-x}} = \dfrac{e^x}{1+e^x}$，因此
$$
f(-x) = \left(\dfrac{e^x}{1+e^x} - \dfrac{1}{2}\right) \ln \dfrac{1+x}{1-x}
$$
$$
= \left(\dfrac{1}{1+e^x} - \dfrac{1}{2}\right) \ln \dfrac{1-x}{1+x}
$$
$$
= f(x)
$$
因此，$f(x)$ 是偶函数。