题目
(5) lim _(xarrow 0)((dfrac {{a)^x+(b)^x+(c)^x}(3))}^dfrac (1{x)}(agt 0,bgt 0,cgt 0);
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用对数的性质
首先，我们对给定的极限表达式取自然对数，以便将指数形式转换为乘积形式，这将使问题更容易处理。设 $y = {(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}^{\dfrac {1}{x}}$，则 $\ln y = \dfrac {1}{x} \ln (\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})$。
步骤 2：应用洛必达法则
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，$\ln y$ 的形式为 $\dfrac {0}{0}$，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则允许我们通过求导来解决这种类型的极限问题。因此，我们对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac {\ln (\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}{x} = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac {\dfrac {1}{\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}} \cdot \dfrac {1}{3} (a^{x} \ln a + b^{x} \ln b + c^{x} \ln c)}{1}$。
步骤 3：计算极限
将 $x = 0$ 代入上述表达式，得到 $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac {\ln (\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}{x} = \dfrac {1}{3} (\ln a + \ln b + \ln c) = \dfrac {\ln abc}{3}$。因此，$\ln y = \dfrac {\ln abc}{3}$，从而 $y = e^{\dfrac {\ln abc}{3}} = \sqrt [3]{abc}$。
首先，我们对给定的极限表达式取自然对数，以便将指数形式转换为乘积形式，这将使问题更容易处理。设 $y = {(\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}^{\dfrac {1}{x}}$，则 $\ln y = \dfrac {1}{x} \ln (\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})$。
步骤 2：应用洛必达法则
由于当 $x \rightarrow 0$ 时，$\ln y$ 的形式为 $\dfrac {0}{0}$，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则允许我们通过求导来解决这种类型的极限问题。因此，我们对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac {\ln (\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}{x} = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac {\dfrac {1}{\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3}} \cdot \dfrac {1}{3} (a^{x} \ln a + b^{x} \ln b + c^{x} \ln c)}{1}$。
步骤 3：计算极限
将 $x = 0$ 代入上述表达式，得到 $\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac {\ln (\dfrac {{a}^{x}+{b}^{x}+{c}^{x}}{3})}{x} = \dfrac {1}{3} (\ln a + \ln b + \ln c) = \dfrac {\ln abc}{3}$。因此，$\ln y = \dfrac {\ln abc}{3}$，从而 $y = e^{\dfrac {\ln abc}{3}} = \sqrt [3]{abc}$。