题目

1.设一类同型电子元件的使用寿命X(单位：小时)服从期望为1的指数分布。现随机取n个元件进行观测，对第i个元件，如果超过10个小时还没有损坏就停止观测，否则记录真实的观测时间X_(i)，这样实际观测时间Y_(i)=min(X_(i),10)，i=1,2,...,n，令bar(Y)=(1)/(n)sum_(i=1)^nY_(i)则bar(Y)依概率收敛于( ).

1.设一类同型电子元件的使用寿命X(单位：小时)服从期望为1的指数分布。现随机取n个元件进行观测，对第i个元件，如果超过10个小时还没有损坏就停止观测，否则记录真实的观测时间$X_{i}$，这样实际观测时间$Y_{i}=min(X_{i},10)$，i=1,2,...,n，令$\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_{i}$则$\bar{Y}$依概率收敛于( ).

题目解答

答案

为了确定$\bar{Y}$依概率收敛的值，我们需要找到$Y_i = \min(X_i, 10)$的期望值，其中$X_i$服从期望为1的指数分布。指数分布的概率密度函数（pdf）为： \[ f(x) = e^{-x} \quad \text{对于} \quad x \geq 0. \] 随机变量$Y_i$定义为$Y_i = \min(X_i, 10)$。为了找到$E[Y_i]$，我们需要考虑两种情况：$X_i \leq 10$和$X_i > 10$。 首先，我们计算$X_i \leq 10$的概率： \[ P(X_i \leq 10) = 1 - e^{-10}. \] 接下来，我们计算$X_i > 10$的概率： \[ P(X_i > 10) = e^{-10}. \] 现在，我们可以找到$Y_i$的期望值： \[ E[Y_i] = E[\min(X_i, 10)] = \int_0^{10} x f(x) \, dx + 10 P(X_i > 10). \] 第一项是$X_i$在0和10之间的期望值： \[ \int_0^{10} x e^{-x} \, dx. \] 我们使用分部积分法来解这个积分。设$u = x$和$dv = e^{-x} \, dx$。那么$du = dx$和$v = -e^{-x}$。因此， \[ \int_0^{10} x e^{-x} \, dx = \left[ -x e^{-x} \right]_0^{10} + \int_0^{10} e^{-x} \, dx = -10 e^{-10} + \left[ -e^{-x} \right]_0^{10} = -10 e^{-10} - e^{-10} + 1 = 1 - 11 e^{-10}. \] 第二项是$X_i > 10$时的期望值，即10： \[ 10 P(X_i > 10) = 10 e^{-10}. \] 将这两项相加，我们得到： \[ E[Y_i] = 1 - 11 e^{-10} + 10 e^{-10} = 1 - e^{-10}. \] 由于$\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i$，根据大数定律，$\bar{Y}$依概率收敛于$E[Y_i]$。因此，$\bar{Y}$依概率收敛于： \[ 1 - e^{-10}. \] 答案是： \[ \boxed{1 - e^{-10}} \]

解析

考查要点：本题主要考查指数分布的性质、截断随机变量的期望计算以及大数定律的应用。

解题核心思路：

  1. 理解截断变量：实际观测时间$Y_i = \min(X_i, 10)$表示当$X_i > 10$时，观测值固定为10；否则记录真实值。
  2. 计算期望：通过分段积分计算$E[Y_i]$，需考虑$X_i \leq 10$和$X_i > 10$两种情况。
  3. 应用大数定律：样本均值$\bar{Y}$依概率收敛于$E[Y_i]$。

破题关键点：

  • 指数分布的PDF和CDF：$f(x) = e^{-x}$，$P(X \leq 10) = 1 - e^{-10}$。
  • 分部积分法：计算$\int_0^{10} x e^{-x} dx$时需正确应用分部积分。

步骤1：确定指数分布参数
已知$X \sim \text{指数分布}(\lambda)$，且期望$E[X] = \frac{1}{\lambda} = 1$，故$\lambda = 1$，概率密度函数为：
$f(x) = e^{-x} \quad (x \geq 0)$

步骤2：计算$Y_i$的期望
$Y_i = \min(X_i, 10)$的期望分为两部分：

  1. 当$X_i \leq 10$时：贡献期望值$\int_0^{10} x f(x) dx$。
  2. 当$X_i > 10$时：贡献期望值$10 \cdot P(X_i > 10)$。

步骤3：计算积分$\int_0^{10} x e^{-x} dx$
使用分部积分法：

  • 设$u = x$，$dv = e^{-x} dx$，则$du = dx$，$v = -e^{-x}$。
  • 积分结果为：
    $\begin{aligned}\int_0^{10} x e^{-x} dx &= \left[ -x e^{-x} \right]_0^{10} + \int_0^{10} e^{-x} dx \\&= -10 e^{-10} + \left[ -e^{-x} \right]_0^{10} \\&= -10 e^{-10} - e^{-10} + 1 \\&= 1 - 11 e^{-10}\end{aligned}$

步骤4：计算$P(X_i > 10)$
$P(X_i > 10) = e^{-10}$

步骤5：综合期望值
$\begin{aligned}E[Y_i] &= \int_0^{10} x e^{-x} dx + 10 \cdot e^{-10} \\&= (1 - 11 e^{-10}) + 10 e^{-10} \\&= 1 - e^{-10}\end{aligned}$

步骤6：应用大数定律
根据大数定律，$\bar{Y}$依概率收敛于$E[Y_i]$，即：
$\bar{Y} \xrightarrow{P} 1 - e^{-10}$