题目

26.要做一个有盖的长方体,长是宽的2倍,且该长方体体积为72,求长、宽、高分别为多少时,该长方体的表面积最小。(10分)

题目解答

答案

设长方体的宽为x，则长为2x，高为$\dfrac {36}{x2}$，
长方体的表面积为：
$S=2\times (2x\times x+2x\times \dfrac {36}{x2}+x\times \dfrac {36}{x2})$
$=2\times (2x2+\dfrac {72}{x})$
$=4x2+\dfrac {144}{x}$
$=4x2+\dfrac {72}{x}+\dfrac {72}{x}$
$\geqslant 3\times \sqrt [3]{4x2\times \dfrac {72}{x}\times \dfrac {72}{x}}$
$=3\times \sqrt [3]{{4}^{2}\times {6}^{3}}$
$=3\times 4\times 6$
=72
当且仅当$4x2=\dfrac {72}{x}$，即x=3时，等号成立，
此时长方体的长为6，宽为3，高为4，
所以长方体的长为6，宽为3，高为4时，长方体的表面积最小，最小值为72。

26.长为6,宽为3,高为4。

解析

步骤 1：定义变量
设长方体的宽为x，则长为2x，体积为72，因此高为$\dfrac {72}{2x^2} = \dfrac {36}{x^2}$。

步骤 2：计算表面积
长方体的表面积为：
$S=2\times (2x\times x+2x\times \dfrac {36}{x^2}+x\times \dfrac {36}{x^2})$
$=2\times (2x^2+\dfrac {72}{x}+\dfrac {36}{x})$
$=4x^2+\dfrac {216}{x}$

步骤 3：求导数
为了找到表面积的最小值，我们对S关于x求导数，并令导数等于0。
$S' = 8x - \dfrac {216}{x^2}$
令$S' = 0$，得到$8x = \dfrac {216}{x^2}$，解得$x^3 = 27$，从而$x = 3$。

步骤 4：验证极值
为了验证x=3时S取得最小值，我们计算二阶导数$S'' = 8 + \dfrac {432}{x^3}$，当x=3时，$S'' = 8 + \dfrac {432}{27} = 8 + 16 = 24 > 0$，因此x=3时S取得最小值。

步骤 5：计算长、宽、高
当x=3时，长为2x=6，宽为x=3，高为$\dfrac {36}{x^2} = \dfrac {36}{9} = 4$。