题目

函数 (x)=dfrac (cos (x-2))(1+{x)^2} 在 (-infty ,+infty ) 内是 ()-|||-A 周期函数-|||-B 有界函数-|||-"-|||-C 奇函数-|||-D 偶函数 1. 单选题

题目解答

答案

解析

本题考查函数的周期性、有界性、奇偶性的判断。解题思路是根据函数的相关性质定义，分别对每个选项进行分析判断。

  1. 判断函数是否为周期函数：
    • 周期函数的定义为：对于函数$y = f(x)$，如果存在一个不为零的常数$T$，使得当$x$取定义域内的每一个值时，$f(x + T) = f(x)$都成立，那么就把函数$y = f(x)$叫做周期函数，周期为$T$。
    • 假设$f(x)=\dfrac {\cos (x - 2)}{1 + x^{2}}$是周期函数，设周期为$T(T\neq0)$，则$f(x + T)=\dfrac {\cos (x + T - 2)}{1 + (x + T)^{2}}=\dfrac {\cos (x - 2)}{1 + x^{2}}$。
    • 因为$\cos(x + T - 2)=\cos(x - 2)$时，$T = 2k\pi(k\in Z,k\neq0)$，但此时$\dfrac{1}{1 + (x + T)^{2}}\neq\dfrac{1}{1 + x^{2}}$，所以不存在非零常数$T$使得$f(x + T) = f(x)$恒成立，故$f(x)$不是周期函数，A选项错误。
  2. 判断函数是否为有界函数：
    • 有界函数的定义为：设函数$f(x)$的定义域为$D$，如果存在正数$M$，使得$\vert f(x)\vert\leq M$对任一$x\in D$都成立，则称函数$f(x)$在$D$上有界。
    • 因为$\vert\cos(x - 2)\vert\leq1$，$1 + x^{2}\geq1$，所以$\vert f(x)\vert=\left\vert\dfrac {\cos (x - 2)}{1 + x^{2}}\right\vert\leq\dfrac{1}{1 + x^{2}}\leq1$。
    • 取$M = 1$，则$\vert f(x)\vert\leq M$对任意$x\in(-\infty,+\infty)$都成立，所以$f(x)$是有界函数，B选项正确。
  3. 判断函数是否为奇函数：
    • 奇函数的定义为：对于一个定义域关于原点对称的函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)= - f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做奇函数。
    • 计算$f(-x)=\dfrac {\cos (-x - 2)}{1 + (-x)^{2}}=\dfrac {\cos (x + 2)}{1 + x^{2}}$，而$-f(x)=-\dfrac {\cos (x - 2)}{1 + x^{2}}$。
    • 显然$f(-x)\neq - f(x)$，所以$f(x)$不是奇函数，C选项错误。
  4. 判断函数是否为偶函数：
    • 偶函数的定义为：对于一个定义域关于原点对称的函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)= f(x)$，那么函数$f(x)$就叫做偶函数。
    • 由前面计算$f(-x)=\dfrac {\cos (x + 2)}{1 + x^{2}}$，$f(x)=\dfrac {\cos (x - 2)}{1 + x^{2}}$，$f(-x)\neq f(x)$，所以$f(x)$不是偶函数，D选项错误。