题目
2.已知 dfrac (x)(x+y)=dfrac (1)(3) ,求 dfrac ({x)^2-(y)^2}(2xy+{y)^2} 的值.
题目解答
答案
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是找出已知和所求式子之间的联系，再对所求式子进行化简．
由已知条件变形得到x=2y，把x=2yx=2y代入所求的代数式中进行分式的化简即可．
【答案】
$-\dfrac{3}{5}$
【解析】
$\because \dfrac{x}{x+y}=\dfrac{1}{3}$
$\therefore 3x=x+y$
$\therefore 2x=y$
$\therefore \dfrac{{x}^{2}-{y}^{2}}{2xy+{y}^{2}}=\dfrac{{x}^{2}-{\left(2x\right)}^{2}}{2x\cdot 2x+{\left(2x\right)}^{2}}=\dfrac{{x}^{2}-4{x}^{2}}{4{x}^{2}+4{x}^{2}}=\dfrac{-3{x}^{2}}{8{x}^{2}}=-\dfrac{3}{8}$
由已知条件变形得到x=2y，把x=2yx=2y代入所求的代数式中进行分式的化简即可．
【答案】
$-\dfrac{3}{5}$
【解析】
$\because \dfrac{x}{x+y}=\dfrac{1}{3}$
$\therefore 3x=x+y$
$\therefore 2x=y$
$\therefore \dfrac{{x}^{2}-{y}^{2}}{2xy+{y}^{2}}=\dfrac{{x}^{2}-{\left(2x\right)}^{2}}{2x\cdot 2x+{\left(2x\right)}^{2}}=\dfrac{{x}^{2}-4{x}^{2}}{4{x}^{2}+4{x}^{2}}=\dfrac{-3{x}^{2}}{8{x}^{2}}=-\dfrac{3}{8}$
解析
考查要点：本题主要考查分式的化简求值，需要根据已知条件建立变量关系，代入所求式子进行化简。
解题思路：
- 从已知条件出发，通过变形得到变量间的比例关系（如$x$与$y$的关系）。
- 代入所求分式，将变量统一为单一变量（如用$x$表示$y$），从而化简分式。
- 约分简化，最终得到数值结果。
关键点：
- 正确解方程：从$\dfrac{x}{x+y} = \dfrac{1}{3}$推导出$y = 2x$。
- 代入化简：将$y = 2x$代入分式$\dfrac{x^2 - y^2}{2xy + y^2}$，逐步展开并约分。
步骤1：解已知条件
由$\dfrac{x}{x+y} = \dfrac{1}{3}$，交叉相乘得：
$3x = x + y$
移项化简得：
$2x = y \quad \text{即} \quad y = 2x$
步骤2：代入分式化简
将$y = 2x$代入$\dfrac{x^2 - y^2}{2xy + y^2}$：
- 分子部分：
$x^2 - y^2 = x^2 - (2x)^2 = x^2 - 4x^2 = -3x^2$ - 分母部分：
$2xy + y^2 = 2x \cdot 2x + (2x)^2 = 4x^2 + 4x^2 = 8x^2$ - 分式化简：
$\dfrac{-3x^2}{8x^2} = -\dfrac{3}{8}$
结论：最终结果为$-\dfrac{3}{8}$。