数项级数收敛的定义是()。A. 级数的通项趋近于0B. 级数的每一项都小于1C. 级数的项数为有限个D. 级数的部分和序列（前n项和）的极限存在

本题考查数项级数收敛的定义。解题思路是明确数项级数收敛的严格定义，然后将各个选项与该定义进行对比分析。

对各选项的分析

• 选项A：
  级数的通项趋近于$0$，即$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$，这是级数收敛的必要条件，但不是充分条件。例如调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$，其通项$u_n=\frac{1}{n}$，$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$，但调和级数是发散的。所以仅通项趋近于$0$不能判定级数收敛，该选项错误。
• 选项B：
  级数的每一项都小于$1$，这与级数是否收敛没有直接关系。例如级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2}$，每一项都小于$1$，但它的部分和$S_n=\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2}=\frac{n}{2}$，$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} = +\infty$，级数发散。所以该选项错误。
• 选项C：
  级数的项数为有限个，此时它是一个有限和，不存在收敛与发散的概念。收敛与发散是针对无穷级数而言的，即项数为无限个的级数。所以该选项错误。
• 选项D：
  设数项级数$\sum_{n = 1}^{\infty} u_n$，其前$n$项和$S_n = u_1 + u_2 + \cdots + u_n$，称为级数的部分和。如果部分和序列$\{S_n\}$的极限存在，即$\lim_{n \to \infty} S_n = S$（$S$为常数），则称级数$\sum_{n = 1}^{\infty} u_n$收敛，$S$为级数的和。这就是数项级数收敛的定义，所以该选项正确。