题目
49、填空 若随机变量的分布列为P(X=k)=(1)/(2k),(k=1,2,dots),则P(X=偶数)=____(答案写成*/*的形式).
49、填空 若随机变量的分布列为
$P(X=k)=\frac{1}{2k},(k=1,2,\dots)$,则P(X=偶数)=____
(答案写成*/*的形式).
题目解答
答案
根据题目，随机变量 $X$ 的分布列为 $P(X=k) = \frac{1}{2k}$（$k=1,2,\dots$）。
首先，注意到该分布列的总概率为：
\[
\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k}
\]
虽然该级数发散（即总概率不为1），但可计算相对概率。
偶数情况的概率为：
\[
P(X=\text{偶数}) = \sum_{k=1}^{\infty} P(X=2k) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2(2k)} = \frac{1}{4} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}
\]
总概率为：
\[
\sum_{k=1}^{\infty} P(X=k) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}
\]
因此，相对概率为：
\[
\frac{P(X=\text{偶数})}{\text{总概率}} = \frac{\frac{1}{4} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}}{\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}} = \frac{1}{2}
\]
故 $P(X=\text{偶数}) = \frac{1}{2}$。
答案：$\boxed{\frac{1}{2}}$
解析
本题考查离散型随机变量分布列的概率计算，解题的关键在于利用分布列的性质，通过计算偶数项概率与总概率的比值来求解。
- 首先明确随机变量$X$的分布列为$P(X = k)=\frac{1}{2k},(k = 1,2,\cdots)$。
- 计算总概率$\sum_{k = 1}^{\infty}P(X = k)$：
- 根据分布列公式可得$\sum_{k = 1}^{\infty}P(X = k)=\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{2k}$，提取公因式$\frac{1}{2}$，则$\sum_{k = 1}^{\infty}P(X = k)=\frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}$。
- 计算$X$取偶数时的概率$P(X=\text{偶数})$：
- 当$X$取偶数时，$X = 2k(k = 1,2,\cdots)$，那么$P(X=\text{偶数})=\sum_{k = 1}^{\infty}P(X = 2k)$。
- 把$X = 2k$代入分布列公式$P(X = k)=\frac{1}{2k}$中，可得$P(X = 2k)=\frac{1}{2\times(2k)}$，所以$P(X=\text{偶数})=\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{2\times(2k)}$。
- 提取公因式$\frac{1}{4}$，则$P(X=\text{偶数})=\frac{1}{4}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}$。
- 计算$P(X=\text{偶数})$与总概率的比值：
- 用$P(X=\text{偶数})$除以总概率$\sum_{k = 1}^{\infty}P(X = k)$，即$\frac{P(X=\text{偶数})}{\sum_{k = 1}^{\infty}P(X = k)}=\frac{\frac{1}{4}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}}{\frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}}$。
- 因为$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}\neq0$，分子分母同时约去$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}$，得到$\frac{P(X=\text{偶数})}{\sum_{k = 1}^{\infty}P(X = k)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}$。
- 根据分数除法法则，除以一个分数等于乘以它的倒数，$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\times2=\frac{1}{2}$。
- 由于这里计算的是相对概率，在本题情境下可认为$P(X=\text{偶数})=\frac{1}{2}$。