7.函数f(x,y)=x^2y+xy^2在点M(1,1)的方向导数最大值为____.A. 3sqrt(2)B. 3C. 6D. 2sqrt(3)

本题考查函数在某点的方向导数最大值的求解，解题的关键在于理解函数在某点的方向导数最大值等于该点梯度的模。

1. 求函数$f(x,y)$的梯度：
   • 梯度的计算公式为$\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$。
   • 先对$f(x,y)=x^{2}y + xy^{2}$求关于$x$的偏导数：
     根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$以及乘积求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$，可得$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy + y^{2}$。
   • 再对$f(x,y)=x^{2}y + xy^{2}$求关于$y$的偏导数：
     同理可得$\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}+2xy$。
   • 所以$\nabla f(x,y)=\left(2xy + y^{2},x^{2}+2xy\right)$。
2. 求函数$f(x,y)$在点$M(1,1)$处的梯度：
   将$x = 1$，$y = 1$代入$\nabla f(x,y)$中，可得$\nabla f(1,1)=\left(2\times1\times1 + 1^{2},1^{2}+2\times1\times1\right)=(3,3)$。
3. 求函数$f(x,y)$在点$M(1,1)$处方向导数的最大值：
   函数在某点的方向导数最大值等于该点梯度的模，对于向量$\vec{a}=(m,n)$，其模$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{m^{2}+n^{2}}$。
   所以$\vert\nabla f(1,1)\vert=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=\sqrt{9 + 9}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。