函数 f(z) = operatorname(Re) z 在 z 平面上 ____.A. 不连续B. 以上答案都不对C. 连续且可导D. 连续但处处不可导

本题考查复变函数的连续性与可导性的知识。解题思路是先判断函数$f(z)=\operatorname{Re}z$的连续性，再判断其可导性。

1. 判断函数$f(z)=\operatorname{Re}z$的连续性

设$z = x + iy$，则$f(z)=\operatorname{Re}z=x$。
对于任意给定的$z_0=x_0 + iy_0$，$\lim\limits_{z \to z_0} f(z)=\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)} x$。
根据二元函数极限的定义，当$(x,y)$趋近于$(x_0,y_0)$时，$x$趋近于$x_0$，即$\lim\limits_{(x,y) \to (x_0,y_0)} x = x_0$。
而$f(z_0)=\operatorname{Re}z_0 = x_0$，所以$\lim\limits_{z \to z_0} f(z)=f(z_0)$。
由于$z_0$是$z$平面上任意一点，所以函数$f(z)=\operatorname{Re}z$在$z$平面上连续。

2. 判断函数$f(z)=\operatorname{Re}z$的可导性

根据复变函数可导的定义，函数$f(z)$在$z$点可导的充要条件是$\lim\limits_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}$存在且与$\Delta z$趋于$0$的方式无关。
设$z = x + iy$，$\Delta z = \Delta x + i\Delta y$，则$f(z)=x$，$f(z + \Delta z)=x + \Delta x$。
那么$\frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}=\frac{(x + \Delta x) - x}{\Delta x + i\Delta y}=\frac{\Delta x}{\Delta x + i\Delta y}$。

• 当$\Delta y = 0$（即$\Delta z$沿实轴趋于$0$）时：
  此时$\Delta z=\Delta x$，则$\lim\limits_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x + i\cdot0}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta x}=1$。
• 当$\Delta x = 0$（即$\Delta z$沿虚轴趋于$0$）时：
  此时$\Delta z = i\Delta y$，则$\lim\limits_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}=\lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{0}{0 + i\Delta y}=0$。

由于$\Delta z$沿不同方向趋于$0$时，$\lim\limits_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}$的值不同，所以$\lim\limits_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z}$不存在，即函数$f(z)=\operatorname{Re}z$在$z$平面上处处不可导。

综上，函数$f(z)=\operatorname{Re}z$在$z$平面上连续但处处不可导。