题目

一、单选题（共15题，100.0分）2.（单选题，6.6分）关于n阶行列式D=}a_(11)&a_(12)&...&a_(1n)a_(21)&a_(22)&...&a_(2n)vdots&vdots&...&vdotsa_(n1)&a_(n2)&...&a_(nn)描述错误的是（）A 以上结论都不正确B 行列式D=sum_(j_{1),j_(2),...,j_(n)为n阶排列}(-1)^f(j_(1,j_{2),...,j_(n))}a_(1j_{1)}a_(2j_{2)}... a_(nj_{n)}C 行列式D=sum_(i_{1),i_(2),...,i_(n)为n阶排列}(-1)^f(i_(1,i_{2),...,i_(n))}a_(1i_{1)}a_(2i_{2)}... a_(ni_{n)}D 行列式D=sum_(k_{1),k_(2),...,k_(n)为n阶排列}(-1)^f(k_(1,k_{2),...,k_(n))}a_(1k_{1)}a_(2k_{2)}... a_(nk_{n)}

一、单选题（共15题，100.0分） 2.（单选题，6.6分）关于n阶行列式$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$描述错误的是（） A 以上结论都不正确 B 行列式$D=\sum_{j_{1},j_{2},\cdots,j_{n}为n阶排列}(-1)^{f(j_{1},j_{2},\cdots,j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$ C 行列式$D=\sum_{i_{1},i_{2},\cdots,i_{n}为n阶排列}(-1)^{f(i_{1},i_{2},\cdots,i_{n})}a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}\cdots a_{ni_{n}}$ D 行列式$D=\sum_{k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}为n阶排列}(-1)^{f(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n})}a_{1k_{1}}a_{2k_{2}}\cdots a_{nk_{n}}$

题目解答

答案

行列式 $D$ 的定义为：
$D = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} \cdots a_{n,\sigma(n)},$
其中 $S_n$ 为 $n$ 阶排列集合，$\text{sgn}(\sigma)$ 为排列的逆序数。
选项分析：

选项 A：以上结论都不正确（错误，因 B、C、D 均正确）。
选项 B：符合定义，正确。
选项 C：与 B 相同，正确。
选项 D：与 B、C 相同，正确。

答案： $\boxed{A}$

解析

本题考查n阶行列式的定义。解题思路是依据n阶行列式的标准定义，对每个选项进行逐一分析判断。

n阶行列式$D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}$的定义为$D = \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\text{sgn}(\sigma)} a_{1,\sigma(1)} a_{2,\sigma(2)} \cdots a_{n,\sigma(n)}$，其中$S_n$为$n$阶排列集合，$\text{sgn}(\sigma)$为排列的逆序数，也就是$D=\sum_{j_{1},j_{2},\cdots,j_{n}为n阶排列}(-1)^{f(j_{1},j_{2},\cdots,j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$ ，这里$f(j_{1},j_{2},\cdots,j_{n})$表示排列$j_{1},j_{2},\cdots,j_{n}$的逆序数。

选项B：$D=\sum_{j_{1},j_{2},\cdots,j_{n}为n阶排列}(-1)^{f(j_{1},j_{2},\cdots,j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$，这与n阶行列式的定义完全相符，所以选项B正确。
选项C：$D=\sum_{i_{1},i_{2},\cdots,i_{n}为n阶排列}(-1)^{f(i_{1},i_{2},\cdots,i_{n})}a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}\cdots a_{ni_{n}}$，只是将排列的符号由$j$换成了$i$，本质上和选项B是一样的，同样符合行列式的定义，所以选项C正确。
选项D：$D=\sum_{k_{1},k_{2},\cdots,k_{n}为n阶排列}(-1)^{f(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n})}a_{1k_{1}}a_{2k_{2}}\cdots a_{nk_{n}}$，只是把排列的符号换成了$k$，其表达的含义与行列式定义一致，所以选项D正确。
选项A：由于选项B、C、D都正确，所以“以上结论都不正确”这一说法是错误的。