4.9 计算下列定积分:-|||-(6) (int )_(dfrac {3)(4)}^1dfrac (1)(sqrt {1-x)-1}dx.

考查要点：本题主要考查定积分的计算技巧，特别是通过变量替换和分式分解简化积分表达式的能力。

解题核心思路：

1. 变量替换：令$t = \sqrt{1 - x}$，将原积分转化为关于$t$的积分，简化被积函数。
2. 分式分解：将被积函数拆分为更易积分的形式，利用代数变形简化计算。
3. 对数积分：处理形如$\frac{1}{t - a}$的积分，直接应用积分公式。

破题关键点：

• 选择合适的替换变量，将根号表达式转化为多项式形式。
• 正确处理积分上下限，避免符号错误。
• 分式分解技巧，将复杂分式拆分为简单分式的和。

变量替换

令$t = \sqrt{1 - x}$，则$t^2 = 1 - x$，得$x = 1 - t^2$，$dx = -2t \, dt$。
积分上下限变化：

• 当$x = \frac{3}{4}$时，$t = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \frac{1}{2}$；
• 当$x = 1$时，$t = 0$。

原积分变为：
$\int_{\frac{3}{4}}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x} - 1} \, dx = \int_{\frac{1}{2}}^{0} \frac{1}{t - 1} \cdot (-2t) \, dt = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{2t}{t - 1} \, dt$

分式分解

将被积函数拆分：
$\frac{2t}{t - 1} = 2 \cdot \frac{t}{t - 1} = 2 \cdot \left( 1 + \frac{1}{t - 1} \right)$

积分计算

积分变为：
$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \left( 2 + \frac{2}{t - 1} \right) \, dt = \left[ 2t + 2 \ln |t - 1| \right]_{0}^{\frac{1}{2}}$

代入上下限：

• 上限$t = \frac{1}{2}$：
  $2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \ln \left| \frac{1}{2} - 1 \right| = 1 + 2 \ln \frac{1}{2} = 1 - 2 \ln 2$
• 下限$t = 0$：
  $2 \cdot 0 + 2 \ln |0 - 1| = 0 + 2 \ln 1 = 0$

最终结果：
$(1 - 2 \ln 2) - 0 = 1 - 2 \ln 2$