1、10件产品中有3件次品,从中不放回地任取5次,每-|||-次取1件.求(1)第3次取到次品的概率;(2)取出的5件-|||-中恰有3件次品的概率.

本题主要考查古典概型概率的计算。解题的关键在于明确每个问题所涉及的基本事件总数和满足条件的事件数，然后根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是基本事件总数，$m$是事件$A$所包含的基本事件数）进行计算。

（1）求第$3$次取到次品的概率

我们可以从对称性的角度来思考这个问题。因为每次取产品时，每一件产品被取到的可能性是相等的，所以第$3$次取到次品的概率和第$1$次、第$2$次等任何一次取到次品的概率是相同的。
从$10$件产品中任取$1$件，取到次品的情况有$3$种，而总的取法有$10$种。
根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$，这里$n = 10$（基本事件总数，即从$10$件产品中任取$1$件的所有可能情况），$m = 3$（事件“取到次品”所包含的基本事件数，即$3$件次品），可得第$3$次取到次品的概率为：
$P_1=\frac{3}{10}$

（2）求取出的$5$件中恰有$3$件次品的概率

• 计算从$10$件产品中任取$5$件的基本事件总数$n$
  从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$C_{n}^m$，其计算公式为$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
  从$10$件产品中任取$5$件，即$n = C_{10}^5$，根据组合数公式可得：
  $\begin{align*}C_{10}^5&=\frac{10!}{5!(10 - 5)!}\\&=\frac{10\times9\times8\times7\times6}{5\times4\times3\times2\times1}\\&=252\end{align*}$
• 计算取出的$5$件中恰有$3$件次品的事件数$m$
  要得到恰有$3$件次品的情况，需要分两步完成。第一步从$3$件次品中取$3$件，第二步从$7$件正品中取$2$件。
  根据分步乘法计数原理，完成一件事需要$n$个步骤，做第$1$步有$m_1$种不同的方法，做第$2$步有$m_2$种不同的方法……做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n$种不同的方法。
  从$3$件次品中取$3$件的组合数为$C_{3}^3$，从$7$件正品中取$2$件的组合数为$C_{7}^2$，则$m = C_{3}^3\times C_{7}^2$。
  计算$C_{3}^3$：
  $\begin{align*}C_{3}^3&=\frac{3!}{3!(3 - 3)!}\\&=\frac{3!}{3!0!}\\&=1\end{align*}$
  计算$C_{7}^2$：
  $\begin{align*}C_{7}^2&=\frac{7!}{2!(7 - 2)!}\\&=\frac{7\times6}{2\times1}\\&=21\end{align*}$
  所以$m = C_{3}^3\times C_{7}^2 = 1\times21 = 21$。
• 计算概率$P_2$
  根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$，可得取出的$5$件中恰有$3$件次品的概率为：
  $P_2=\frac{m}{n}=\frac{21}{252}=\frac{1}{12}$