二次型 f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1x_2 + 5x_3^2 正惯性指数为()A. 2B. 1C. 0D. 3

本题考查二次型正惯性指数的概念及求解方法。解题思路是先通过可逆线性变换将给定的二次型化为标准形，然后根据标准形中正平方项的个数确定正惯性指数。

步骤一：进行可逆线性变换

设$\begin{cases}x_1 = y_1 + y_2\\x_2 = y_1 - y_2\\x_3 = y_3\end{cases}$，将其代入二次型$f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1x_2 + 5x_3^2$中。

步骤二：化简二次型

把$\begin{cases}x_1 = y_1 + y_2\\x_2 = y_1 - y_2\\x_3 = y_3\end{cases}$代入$f(x_1, x_2, x_3)$可得：
$\begin{align*} f(x_1, x_2, x_3)&=2(y_1 + y_2)(y_1 - y_2)+5y_3^2\\ &=2(y_1^2 - y_2^2)+5y_3^2\\ &=2y_1^2 - 2y_2^2 + 5y_3^2 \end{align*}$

步骤三：确定正惯性指数

二次型的标准形$f = 2y_1^2 - 2y_2^2 + 5y_3^2$中，正平方项为$2y_1^2$和$5y_3^2$，共$2$个。根据正惯性指数的定义，二次型的正惯性指数就是其标准形中正平方项的个数，所以该二次型的正惯性指数为$2$。