<N,*>,<R,*>,<I,+>,<E,*>四个代数系统中,哪个是群:N:自然数,R:实数,I:整数,E:偶数。*普通乘法A <N,*>B <R,*>C <I,+>D <E,*>
<N,*>,<R,*>,<I,+>,<E,*>四个代数系统中,哪个是群:
N:自然数,R:实数,I:整数,E:偶数。*普通乘法
A <N,*>
B <R,*>
C <I,+>
D <E,*>
题目解答
答案
解答：
一个代数系统是群,需要满足以下5个条件:
封闭性:对于集合中的任意两个元素a和b,a*b也在该集合中。
结合律:对于集合中的任意三个元素a、b、c,(ab)c=a(bc)成立。
存在单位元:集合中存在一个元素e,使得对于任意a,ae=ea=a成立。
每个元素都存在逆元:对于集合中的任意元素a,都存在一个元素b使得ab=ba=e成立。
交换律:对于集合中的任意两个元素a和b,ab=ba成立。
现在让我们逐一分析给定的4个代数系统是否满足群的要求:
A. <N,>: 自然数集N关于乘法
封闭性:成立,因为自然数乘积仍是自然数。
结合律:成立,乘法满足结合律。
单位元:1是单位元,因为a1=1a=a。
逆元:除0外,每个自然数都有逆元,即该数的倒数。
交换律:成立,乘法满足交换律。
因此,<N,*>是群。
B. <R,>: 实数集R关于乘法
封闭性:成立,因为实数乘积仍是实数。
结合律:成立,乘法满足结合律。
单位元:1是单位元,因为a1=1a=a。
逆元:除0外,每个实数都有逆元,即该数的倒数。
交换律:成立,乘法满足交换律。
因此,<R,*>是群。
C. <I,+>: 整数集I关于加法+
封闭性:成立,因为整数加法仍是整数。
结合律:成立,加法满足结合律。
单位元:0是单位元,因为a+0=0+a=a。
逆元:每个整数都有加法逆元,即该数的相反数。
交换律:成立,加法满足交换律。
因此,<I,+>是群。
D. <E,>: 偶数集E关于乘法
封闭性:成立,因为偶数乘积仍是偶数。
结合律:成立,乘法满足结合律。
单位元:1是单位元,因为a1=1a=a。
逆元:除0外,每个偶数都有逆元,即该数的倒数。
交换律:成立,乘法满足交换律。
因此,<E,*>是群。
综上所述,4个代数系统中,<N,>、<R,>、<I,+>、<E,*>都是群。