题目
33.判断题(2.5分)lim_(xto0)(sin x)/(2x)=(1)/(2).A 错B 对
33.判断题(2.5分)
$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}.$
A 错
B 对
题目解答
答案
为了判断 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}$ 是否正确，我们可以使用已知的极限 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$。这个极限是微积分中的一个基本结果。
让我们从给定的极限开始：
\[
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}
\]
我们可以将表达式重写为：
\[
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x} = \lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin x}{x}\right)
\]
根据极限的性质，常数乘以函数的极限等于常数乘以函数的极限：
\[
\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin x}{x}\right) = \frac{1}{2} \cdot \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}
\]
我们知道从基本极限中：
\[
\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = 1
\]
将这个值代入我们的表达式，我们得到：
\[
\frac{1}{2} \cdot \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}
\]
因此，极限 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}$ 确实是 $\frac{1}{2}$。
所以，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
本题考查重要极限 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ 的应用以及极限的运算法则。解题思路是先将所给极限式子 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}$ 进行变形，使其能运用已知的重要极限，再根据极限的运算法则进行计算，最后判断等式是否成立。
- 对原式进行变形：
- 已知原式为 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}$，根据乘法结合律，可将其变形为 $\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin x}{x}\right)$。
- 运用极限运算法则：
- 根据极限的性质：若 $\lim_{x\to a}f(x)$ 和 $c$ 为常数，则 $\lim_{x\to a}(c\cdot f(x)) = c\cdot\lim_{x\to a}f(x)$。
- 对于 $\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin x}{x}\right)$，这里 $c = \frac{1}{2}$，$f(x)=\frac{\sin x}{x}$，所以 $\lim_{x\to0}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin x}{x}\right)=\frac{1}{2} \cdot \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$。
- 代入重要极限的值：
- 因为重要极限 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$，将其代入上式可得：$\frac{1}{2} \cdot \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\frac{1}{2} \cdot 1$。
- 计算最终结果：
- $\frac{1}{2} \cdot 1=\frac{1}{2}$，即 $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\frac{1}{2}$，所以该判断题的表述是正确的。