题目
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为sqrt(3)，D为BC的中点，且AD=1．（1）若∠ADC=(π)/(3)，求tanB；（2）若b2+c2=8，求b,c.
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为$\sqrt{3}$，D为BC的中点，且AD=1．
（1）若∠ADC=$\frac{π}{3}$，求tanB；
（2）若b2+c2=8，求b,c.
（1）若∠ADC=$\frac{π}{3}$，求tanB；
（2）若b2+c2=8，求b,c.
题目解答
答案
解：（1））D为BC中点，$S_{△ABC}=\sqrt{3}$，
则$S_{△ACD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：
△ADE中，$DE=\frac{1}{2}$，$AE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}⋅\frac{\sqrt{3}}{2}CD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得CD=2，
∴BD=2，$BE=\frac{5}{2}$，
故$tanB=\frac{AE}{BE}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$；
（2）$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
$\overrightarrow{AD}^2=\frac{1}{4}（c^2+b^2+2bccosA）$，
AD=1，b2+c2=8，
则$1=\frac{1}{4}（8+2bccosA）$，
∴bccosA=-2①，
${{S}_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，即$bcsinA=2\sqrt{3}$②，
由①②解得 $tanA=-\sqrt{3}$，
∴$A=\frac{2π}{3}$，
∴bc=4，又b2+c2=8，
∴b=c=2．
则$S_{△ACD}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：
△ADE中，$DE=\frac{1}{2}$，$AE=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$S_{△ACD}=\frac{1}{2}⋅\frac{\sqrt{3}}{2}CD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得CD=2，
∴BD=2，$BE=\frac{5}{2}$，
故$tanB=\frac{AE}{BE}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{5}$；
（2）$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，
$\overrightarrow{AD}^2=\frac{1}{4}（c^2+b^2+2bccosA）$，
AD=1，b2+c2=8，
则$1=\frac{1}{4}（8+2bccosA）$，
∴bccosA=-2①，
${{S}_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\sqrt{3}$，即$bcsinA=2\sqrt{3}$②，
由①②解得 $tanA=-\sqrt{3}$，
∴$A=\frac{2π}{3}$，
∴bc=4，又b2+c2=8，
∴b=c=2．