题目

(7)oint(dz)/((z^2)+1)(z^(2+4))，C:|z|=3/2

(7)$\oint\frac{dz}{(z^{2}+1)(z^{2}+4)}$，C:|z|=3/2

题目解答

答案

被积函数为 $f(z) = \frac{1}{(z^2+1)(z^2+4)}$，极点为 $z = \pm i$ 和 $z = \pm 2i$。在圆 $|z| = \frac{3}{2}$ 内的极点为 $z = \pm i$。 计算留数： \[ \text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} \frac{z - i}{(z^2+1)(z^2+4)} = -\frac{i}{2}, \quad \text{Res}(f, -i) = \lim_{z \to -i} \frac{z + i}{(z^2+1)(z^2+4)} = \frac{i}{2}. \] 留数和为 $-\frac{i}{2} + \frac{i}{2} = 0$。 由留数定理，积分值为 $2\pi i \times 0 = 0$。 答案：$\boxed{0}$

解析

本题考查利用留数定理计算复变函数的围线积分，关键是确定被积函数在积分围线内的奇点（极点）并计算其留数数，再根据留数定理求积分值。

步骤1：分解被积函数的奇点分析

被积函数为 $f(z) = \frac{1}{(z^2+1)(z^2+4)}$，分母的零点即为奇点：

  • $z^2 + 1 = 0 \implies z = \pm i \, i$（一阶极点）

  • $z^2 + 4 = 0 \implies z = \pm 2i \, i$（一阶极点）

积分围线 $C: |z| = \frac{3}{2}$（半径 $\(\frac{3}{2}$ 的圆），仅包含奇点 $z = i$ 和 $z = -i$（$\( |i|=1 < \frac{3}{2}$, $|-i|=1 < \frac{3}{2}$, 而 $|\pm 2i|=2 > \frac{3}{2}$ 不在围线内）。

步骤2：计算一阶极点的留数

对于一阶极点 $z_0$，留数公式为：
$\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0)f(z)$

  • $z = i$：
    $\textRes(f, i) = \lim_{z \to i} (z - i) \cdot \frac{1}{(z - i)(z + i)(z^2 + 4)} = \lim_{z \to i} \frac{1}{(z + i)(z^2 + 4)}$
    代入 $z = i$：
    $\frac{1}{(i + i)(i^2 + 4)} = \frac{1}{2i(-1 + 4)} = \frac{1}{6i} = -\frac{i}{6} \quad (\text{分母有理化：}\frac{1}{i}= -i)$

  • $z = -i$：
    $\textRes(f, -i) = \lim_{z \to -i} (z + i) \cdot \frac{1}{(z^2 + 1)(z - 2i)(z + 2i)} = \lim_{z \to -i} \frac{1}{(z - i)(z^2 + 4)}}$ ]
    代入 $z = -i$：
    $\frac{1}{(-i - i)((-i)^2 + 4)} = \frac{1}{-2i(-1 + 4)} = \frac{1}{-6i} = \frac{i}{6}$

步骤3：应用留数定理

留数定理：$\oint_C f(z)dz = 2\pi i \sum \textRes(f, z_k)$，其中 $z_k$ 为围线内奇点。
围线内奇点的留数和：
$\textRes(f, i) + \textRes(f, -i) = -\frac{i}{6} + \frac{i}{6} = 0$

因此，积分值为：
$\oint_C f(z)dz = 2\pi i \cdot 0 = 0$