题目

14.（简答题，15.0分）计算不定积分int x^2ln(1+x^3)dx

14.（简答题，15.0分） 计算不定积分$\int x^{2}\ln(1+x^{3})dx$

题目解答

答案

令 $u = 1 + x^3$，则 $du = 3x^2 \, dx$，原积分可化为：
$\int x^2 \ln(1 + x^3) \, dx = \frac{1}{3} \int \ln u \, du.$
对 $\int \ln u \, du$ 使用分部积分法，设 $v = \ln u$，$dw = du$，则 $dv = \frac{1}{u} \, du$，$w = u$，得：
$\int \ln u \, du = u \ln u - \int u \cdot \frac{1}{u} \, du = u \ln u - u + C.$
代回得：
$\frac{1}{3} \int \ln u \, du = \frac{1}{3} (u \ln u - u) + C = \frac{1}{3} (1 + x^3) \ln(1 + x^3) - \frac{1 + x^3}{3} + C.$
化简得：
$\frac{1}{3} (1 + x^3) \ln(1 + x^3) - \frac{x^3}{3} + C',$
其中 $C' = C - \frac{1}{3}$ 为任意常数。

答案：
$\boxed{\frac{1}{3} (1 + x^3) \ln(1 + x^3) - \frac{x^3}{3} + C}$
（或等价表示：$\boxed{\frac{1}{3} (1 + x^3) \ln(1 + x^3) - \frac{1 + x^3}{3} + C'}$，其中 $C'$ 为任意常数。）

解析

本题考查不定积分的计算，主要运用换元积分法和分部积分法。解题思路如下：

  1. 首先观察被积函数$x^{2}\ln(1 + x^{3})$，发现$x^{2}$与$1 + x^{3}$存在导数关系，所以考虑使用换元积分法。
  2. 令$u = 1 + x^{3}$，对$u$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$du = 3x^{2}dx$，那么$x^{2}dx=\frac{1}{3}du$，将其代入原积分，把原积分转化为关于$u$的积分$\frac{1}{3}\int\ln udu$。
  3. 对于$\int\ln udu$，使用分部积分法。分部积分公式为$\int vdw=vw-\int wdv$。
    • 设$v = \ln u$，$dw = du$。
    • 对$v$求导，根据求导公式$(\ln X)^\prime=\frac{1}{X}$可得$dv=\frac{1}{u}du$。
    • 对$dw$积分可得$w = u$。
    • 将$v$、$w$、$dv$、$dw$代入分部积分公式可得：
      $\int\ln udu=u\ln u-\int u\cdot\frac{1}{u}du$
    • 计算$\int u\cdot\frac{1}{u}du$，$u\cdot\frac{1}{u}=1$，所以$\int u\cdot\frac{1}{u}du=\int 1du=u + C_1$（$C_1$为常数），则$\int\ln udu=u\ln u - u + C_1$。
  4. 把$\int\ln udu=u\ln u - u + C_1$代回$\frac{1}{3}\int\ln udu$可得：
    $\frac{1}{3}\int\ln udu=\frac{1}{3}(u\ln u - u)+C_2$（$C_2$为常数）
  5. 再把$u = 1 + x^{3}$代回上式得：
    $\frac{1}{3}(u\ln u - u)+C_2=\frac{1}{3}((1 + x^{3})\ln(1 + x^{3})-(1 + x^{3}))+C_2$
    展开式子得$\frac{1}{3}(1 + x^{3})\ln(1 + x^{3})-\frac{1 + x^{3}}{3}+C_2$
    进一步化简为$\frac{1}{3}(1 + x^{3})\ln(1 + x^{3})-\frac{x^{3}}{3}+C$，其中$C = C_2-\frac{1}{3}$为任意常数。