题目
计算 I=iintlimits_(D)[x+(y^3ln(sqrt(x^2)+1+x))/(1+x^4)]dsigma，其中D是y=sin x x=pm(pi)/(2)，y=1围成的区域.
计算 $I=\iint\limits_{D}\left[x+\frac{y^{3}\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{1+x^{4}}\right]d\sigma$，其中D是$y=\sin x x=\pm\frac{\pi}{2}$，y=1围成的区域.
题目解答
答案
将积分区域 $ D $ 表示为：
\[ D = \left\{ (x, y) \mid -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \sin x \leq y \leq 1 \right\}. \]
被积函数 $ f(x, y) = x + \frac{y^3 \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{1 + x^4} $ 可分解为奇函数部分 $ x $ 和 $ \frac{y^3 \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{1 + x^4} $，因 $ \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x) $ 关于 $ x $ 奇对称。由于区域 $ D $ 关于 $ y $-轴对称，奇函数在对称区域上的积分为零。
因此，原积分值为：
\[ \boxed{0} \]