题目

2.已知复数 z=2-2i，求z^6。注意：要有解题过程。作业二（预习作业）

2.已知复数 z=2-2i，求$z^{6}$。 注意：要有解题过程。 作业二（预习作业）

题目解答

答案

已知复数 $ z = 2 - 2i $，求 $ z^6 $。
首先，计算 $ z^2 $：
$z^2 = (2 - 2i)^2 = 4 - 8i + 4i^2 = 4 - 8i - 4 = -8i$
接着，计算 $ z^6 $：
$z^6 = (z^2)^3 = (-8i)^3 = -512i^3$
由于 $ i^3 = -i $，故：
$-512i^3 = -512(-i) = 512i$
因此，$ z^6 = 512i $。

答案： $ z^6 = 512i $

解析

本题考查复数的乘方运算。解题思路是先计算出$z^2$的值，再利用幂的乘方性质$(a^m)^n=a^{mn}$，将$z^6$转化为$(z^2)^3$进行计算，最后根据虚数单位$i$的幂次规律化简结果。

  1. 计算$z^2$的值：
    已知$z = 2 - 2i$，根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得：
    $z^2=(2 - 2i)^2=2^2-2\times2\times2i+(2i)^2=4 - 8i + 4i^2$
    因为$i^2 = -1$，所以$4i^2 = 4\times(-1)= -4$，则：
    $z^2=4 - 8i - 4=-8i$
  2. 计算$z^6$的值：
    根据幂的乘方性质$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$z^6=(z^2)^3$，将$z^2 = -8i$代入可得：
    $z^6=(-8i)^3=(-8)^3\times i^3$
    计算$(-8)^3$：
    $(-8)^3=(-8)\times(-8)\times(-8)= -512$
    所以$z^6=-512i^3$
  3. 化简$z^6$：
    根据虚数单位$i$的幂次规律$i^1 = i$，$i^2 = -1$，$i^3 = i^2\times i = -1\times i = -i$，可得：
    $z^6=-512\times(-i)=512i$