arcsin√x+lnxdx

考查要点：本题主要考查分部积分法和变量代换法的综合应用，涉及反三角函数与对数函数的积分处理。

解题核心思路：

1. 变量代换：通过令 $t = \sqrt{x}$，将原积分转化为关于 $t$ 的积分，简化被积函数形式。
2. 分部积分：对 $\arcsin t$ 和 $\ln t^2$ 分别进行分部积分，逐步消去复杂函数项。
3. 代数化简：通过代数变形和基本积分公式完成最终计算。

破题关键点：

• 正确选择代换变量，将 $\sqrt{x}$ 设为新变量简化积分形式。
• 分部积分时合理选择 $u$ 和 $dv$，优先处理 $\arcsin t$ 和 $\ln t^2$ 的积分。

原题：计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{\arcsin \sqrt{x} + \ln x}{\sqrt{x}} \, dx$。

步骤 1：变量代换

令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t \, dt$。代入积分得：
$\begin{aligned}\int \frac{\arcsin t + \ln t^2}{t} \cdot 2t \, dt &= 2 \int (\arcsin t + \ln t^2) \, dt.\end{aligned}$

步骤 2：拆分积分

将积分拆分为两部分：
$2 \int \arcsin t \, dt + 2 \int \ln t^2 \, dt.$

步骤 3：分部积分 $\int \arcsin t \, dt$

设 $u = \arcsin t$，$dv = dt$，则 $du = \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} dt$，$v = t$。分部积分得：
$\int \arcsin t \, dt = t \arcsin t - \int \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt.$
对剩余积分 $\int \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt$，令 $u = 1 - t^2$，则 $du = -2t \, dt$，得：
$\int \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}} \, dt = -\sqrt{1 - t^2}.$

步骤 4：分部积分 $\int \ln t^2 \, dt$

利用 $\ln t^2 = 2 \ln t$，设 $u = \ln t$，$dv = dt$，则 $du = \frac{1}{t} dt$，$v = t$。分部积分得：
$\int \ln t^2 \, dt = 2 \left( t \ln t - \int 1 \, dt \right) = 2t \ln t - 2t.$

步骤 5：合并结果

将所有部分代入原积分：
$\begin{aligned}2 \left[ t \arcsin t + \sqrt{1 - t^2} + 2t \ln t - 2t \right] + C &= 2t (\arcsin t + \ln t^2) - 4t + 2\sqrt{1 - t^2} + C.\end{aligned}$

步骤 6：回代变量 $t = \sqrt{x}$

最终结果为：
$2\sqrt{x} (\arcsin \sqrt{x} + \ln x) - 4\sqrt{x} + 2\sqrt{1 - x} + C.$