题目
设三阶矩阵A的特征值为1,2,3,对应的特征向量分别为 (alpha )_(1)=((1,1,1))^T ,-|||-(alpha )_(2)=((1,0,1))^T , (alpha )_(3)=((0,1,1))^T ,求A和A^3.
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造矩阵P
根据题目给出的特征向量，我们可以构造一个矩阵P，其列向量为特征向量。即
\[ P = \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right ] \]
步骤 2：构造对角矩阵D
根据题目给出的特征值，我们可以构造一个对角矩阵D，其对角线上的元素为特征值。即
\[ D = \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right ] \]
步骤 3：计算矩阵A
根据特征值和特征向量的性质，我们有
\[ A = PDP^{-1} \]
首先计算P的逆矩阵$P^{-1}$，然后计算$PDP^{-1}$得到矩阵A。
步骤 4：计算矩阵$A^3$
根据矩阵A，我们可以通过直接计算$A^3$得到结果，或者利用特征值和特征向量的性质，即
\[ A^3 = PD^3P^{-1} \]
其中$D^3$是对角矩阵D的三次方。
根据题目给出的特征向量，我们可以构造一个矩阵P，其列向量为特征向量。即
\[ P = \left [ \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right ] \]
步骤 2：构造对角矩阵D
根据题目给出的特征值，我们可以构造一个对角矩阵D，其对角线上的元素为特征值。即
\[ D = \left [ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right ] \]
步骤 3：计算矩阵A
根据特征值和特征向量的性质，我们有
\[ A = PDP^{-1} \]
首先计算P的逆矩阵$P^{-1}$，然后计算$PDP^{-1}$得到矩阵A。
步骤 4：计算矩阵$A^3$
根据矩阵A，我们可以通过直接计算$A^3$得到结果，或者利用特征值和特征向量的性质，即
\[ A^3 = PD^3P^{-1} \]
其中$D^3$是对角矩阵D的三次方。