题目
7.设x=varphi(y)是单调函数y=xe^x^(2)的反函数，求int_(0)^evarphi(y)dy.
7.设$x=\varphi(y)$是单调函数$y=xe^{x^{2}}$的反函数，求$\int_{0}^{e}\varphi(y)dy$.
题目解答
答案
设 $y = f(x) = xe^{x^2}$，其反函数为 $x = \varphi(y)$。由反函数积分公式：
\[
\int_{a}^{b} \varphi(y) \, dy + \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) \, dx = b\varphi(b) - a\varphi(a)
\]
对于 $a = 0$，$b = e$，有 $\varphi(0) = 0$，$\varphi(e) = 1$。代入得：
\[
\int_{0}^{e} \varphi(y) \, dy + \int_{0}^{1} xe^{x^2} \, dx = e
\]
计算 $\int_{0}^{1} xe^{x^2} \, dx$，令 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$，积分变为：
\[
\int_{0}^{1} xe^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u \, du = \frac{1}{2}(e - 1)
\]
代入得：
\[
\int_{0}^{e} \varphi(y) \, dy = e - \frac{1}{2}(e - 1) = \frac{e + 1}{2}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{e + 1}{2}}$
解析
考查要点：本题主要考查反函数的积分公式及其应用，同时涉及换元积分法的运用。
解题核心思路：
- 反函数积分公式：利用反函数与原函数的关系，将原积分转化为对原函数的积分，从而简化计算。
- 换元积分法：计算原函数的积分时，通过变量代换简化被积表达式。
破题关键点：
- 确定反函数的定义域和值域：通过原函数$y = xe^{x^2}$的单调性，找到$\varphi(0)$和$\varphi(e)$的值。
- 正确应用反函数积分公式：明确公式中积分上下限的对应关系，避免混淆。
步骤1：应用反函数积分公式
根据反函数积分公式：
$\int_{a}^{b} \varphi(y) \, dy + \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x) \, dx = b\varphi(b) - a\varphi(a)$
代入$a = 0$，$b = e$，并结合原函数$f(x) = xe^{x^2}$的反函数$\varphi(y)$，可得：
$\int_{0}^{e} \varphi(y) \, dy + \int_{0}^{1} xe^{x^2} \, dx = e \cdot 1 - 0 \cdot 0 = e$
步骤2：计算$\int_{0}^{1} xe^{x^2} \, dx$
令$u = x^2$，则$du = 2x \, dx$，即$x \, dx = \frac{1}{2} du$。积分变为：
$\int_{0}^{1} xe^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u \, du = \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}(e - 1)$
步骤3：代入求解原积分
将结果代入反函数积分公式：
$\int_{0}^{e} \varphi(y) \, dy = e - \frac{1}{2}(e - 1) = \frac{e + 1}{2}$