任意将10本书放在书架上,其中有两套书,一套3本,另一套4本,求下列事件的概率：(1)3本一套放在一起；(2)两套各自放在一起；(3)两套中至少有一套放在一起.

考查要点：本题主要考查排列组合中的捆绑法应用及概率计算，特别是涉及多个事件时的容斥原理。

解题核心思路：

1. 捆绑法：将需要放在一起的书视为一个整体，计算整体排列数与内部排列数的乘积。
2. 分步计算：对于多个独立事件（如两套各自捆绑），需分别计算各部分的排列数后相乘。
3. 容斥原理：处理“至少一个”事件时，需用加法原理减去重复计算的部分。

破题关键点：

• 总事件数：所有书的全排列数为$A_{10}^{10}=10!$。
• 捆绑法应用：将套书视为整体时，需注意剩余书籍的数量。
• 容斥原理：正确计算单独事件概率后，减去同时满足两个事件的概率。

第（1）题

目标：3本一套放在一起。

1. 捆绑处理：将3本套视为1个整体，剩余7本书，共$1+7=8$个元素。
2. 排列数计算：
   • 整体排列数：$A_8^8=8!$
   • 内部排列数：$A_3^3=3!$
3. 概率计算：
   $P = \frac{A_3^3 \times A_8^8}{A_{10}^{10}} = \frac{3! \times 8!}{10!} = \frac{6}{10 \times 9} = \frac{1}{15}$

第（2）题

目标：两套各自放在一起。

1. 双重捆绑：3本套和4本套分别视为2个整体，剩余3本书，共$2+3=5$个元素。
2. 排列数计算：
   • 整体排列数：$A_5^5=5!$
   • 内部排列数：$A_3^3 \times A_4^4=3! \times 4!$
3. 概率计算：
   $P = \frac{A_3^3 \times A_4^4 \times A_5^5}{A_{10}^{10}} = \frac{3! \times 4! \times 5!}{10!} = \frac{144}{30240} = \frac{1}{210}$

第（3）题

目标：至少有一套放在一起。

1. 容斥原理：
   • 单独事件：
     • 3本套概率：$P(A)=\frac{1}{15}$
     • 4本套概率：$P(B)=\frac{1}{30}$（同第（1）题方法，将4本套视为整体）
   • 交集事件：两套均放在一起的概率$P(A \cap B)=\frac{1}{210}$（即第（2）题结果）
2. 概率计算：
   $P = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{15} + \frac{1}{30} - \frac{1}{210} = \frac{2}{21}$