题目
函数y=xtanx是（ ） A. 有界函数 B. 单调函数 C. 偶函数 D. 周期函数
函数y=xtanx是（ ）
- A. 有界函数
- B. 单调函数
- C. 偶函数
- D. 周期函数
题目解答
答案
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=xtanx，其值域为R，不是有界函数，A错误；
对于B，y=xtanx，其定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$}，不是单调函数，B错误；
对于C，f（x）=xtanx，其定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$}，且f（-x）=xtanx=f（x），C正确；
对于D，y=xtanx不是周期函数，D错误；
故选：C．
对于A，y=xtanx，其值域为R，不是有界函数，A错误；
对于B，y=xtanx，其定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$}，不是单调函数，B错误；
对于C，f（x）=xtanx，其定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$}，且f（-x）=xtanx=f（x），C正确；
对于D，y=xtanx不是周期函数，D错误；
故选：C．
解析
步骤 1：定义域分析
函数y=xtanx的定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$}，其中k为整数。这是因为tanx在x=kπ+$\frac{π}{2}$时无定义。
步骤 2：有界性分析
函数y=xtanx的值域为R，因为当x接近kπ+$\frac{π}{2}$时，tanx的值趋向于无穷大或无穷小，因此y=xtanx的值可以无限大或无限小，所以它不是有界函数。
步骤 3：单调性分析
函数y=xtanx在定义域内不是单调函数。因为tanx在每个周期内都是单调递增的，但是由于x的线性增长，y=xtanx在每个周期内先增后减，因此不是单调函数。
步骤 4：奇偶性分析
函数y=xtanx是偶函数。因为f（-x）=（-x）tan（-x）=xtanx=f（x），所以函数y=xtanx是偶函数。
步骤 5：周期性分析
函数y=xtanx不是周期函数。因为虽然tanx是周期函数，但是由于x的线性增长，y=xtanx在每个周期内的变化幅度是不同的，因此不是周期函数。
函数y=xtanx的定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$}，其中k为整数。这是因为tanx在x=kπ+$\frac{π}{2}$时无定义。
步骤 2：有界性分析
函数y=xtanx的值域为R，因为当x接近kπ+$\frac{π}{2}$时，tanx的值趋向于无穷大或无穷小，因此y=xtanx的值可以无限大或无限小，所以它不是有界函数。
步骤 3：单调性分析
函数y=xtanx在定义域内不是单调函数。因为tanx在每个周期内都是单调递增的，但是由于x的线性增长，y=xtanx在每个周期内先增后减，因此不是单调函数。
步骤 4：奇偶性分析
函数y=xtanx是偶函数。因为f（-x）=（-x）tan（-x）=xtanx=f（x），所以函数y=xtanx是偶函数。
步骤 5：周期性分析
函数y=xtanx不是周期函数。因为虽然tanx是周期函数，但是由于x的线性增长，y=xtanx在每个周期内的变化幅度是不同的，因此不是周期函数。