设 a_n > 0，下列命题中正确的是（ ）.A 若 sum_(n=1)^infty a_n 收敛，则 lim_(n to infty) (a_(n+1))/(a_n) leq 1.B 若 lim_(n to infty) n a_n = 0，则 sum_(n=1)^infty a_n 收敛；C 若 (a_(n+1))/(a_n) leq (1 - (1)/(n+1))^2，则 sum_(n=1)^infty a_n 收敛；D 若 sum_(n=1)^infty a_n 收敛，则 lim_(n to infty) n a_n = 0；

本题考查正项级数敛散性的判定，需要对每个选项逐一分析其正确性。

选项A

若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \leq 1$。
级数收敛并不能保证比值极限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ 存在。
构造反例：设 $a_n = \begin{cases} \frac{1}{n^2}, & n \text{ 为奇数} \\ \frac{1}{2^n}, & n \text{ 为偶数} \end{cases}$。
因为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是 $p = 2\gt{}1$ 的 $p$ 级数，根据 $p$ 级数的敛散性可知其收敛；$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$ 是公比 $q=\frac{1}{2}\lt{}1$ 的等比级数，根据等比级数的敛散性可知其收敛。
两个收敛级数的和仍然收敛，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
计算比值 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$：

• 当 $n$ 为奇数时，$n + 1$ 为偶数，$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/2^{n+1}}{1/n^2} = \frac{n^2}{2^{n+1}}$。
  根据洛必达法则，对分子分母分别求导，$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{2^{n+1}}=\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{(n + 1)2^{n+1}}=\lim_{n \to \infty} \frac{2}{(n + 2)2^{n+1}} = 0$。
• 当 $n$ 为偶数时，$n + 1$ 为奇数，$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1/(n+1)^2}{1/2^n} = \frac{2^n}{(n+1)^2}$。
  同样根据洛必达法则，$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{(n+1)^2}=\lim_{n \to \infty} \frac{2^n\ln 2}{2(n + 1)}=\lim_{n \to \infty} \frac{2^n(\ln 2)^2}{2}= +\infty$。
  因此，$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ 不存在，更谈不上 $\leq 1$，所以选项A错误。

选项B

若 $\lim_{n \to \infty} n a_n = 0$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
$\lim_{n \to \infty} n a_n = 0$ 是一个比 $a_n$ 是无穷小量更强的条件，但依然不足以保证级数收敛。
反例：取 $a_n = \frac{1}{n \ln(n+1)}$ （$n \geq 1$）。
计算极限：$\lim_{n \to \infty} n a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n \ln(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln(n+1)} = 0$。
使用积分判别法判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n+1)}$ 的敛散性，设 $f(x)=\frac{1}{x\ln x}$，$x\geq 2$，则 $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x\ln x}dx$。
令 $t = \ln x$，则 $dt=\frac{1}{x}dx$，当 $x = 2$ 时，$t=\ln 2$，当 $x\to+\infty$ 时，$t\to+\infty$。
所以 $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x\ln x}dx=\int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{1}{t}dt=\lim_{b\to+\infty}\int_{\ln 2}^{b} \frac{1}{t}dt=\lim_{b\to+\infty}(\ln t|_{\ln 2}^{b})=\lim_{b\to+\infty}(\ln b-\ln(\ln 2))=+\infty$。
因为积分发散，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln(n+1)}$ 发散，选项B错误。

选项C

若 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^2$，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
已知条件为 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^2 = \left(\frac{n}{n+1}\right)^2 = \frac{n^2}{(n+1)^2}$。
因为 $a_n \gt 0$，我们可以将不等式变形为 $\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \frac{n^2}{(n+1)^2}$。
对于 $n \geq 1$，我们可以写出：

• $a_2 \leq a_1 \cdot \frac{1^2}{2^2}$
• $a_3 \leq a_2 \cdot \frac{2^2}{3^2} \leq a_1 \cdot \frac{1^2}{2^2} \cdot \frac{2^2}{3^2} = a_1 \cdot \frac{1^2}{3^2}$
• $a_4 \leq a_3 \cdot \frac{3^2}{4^2} \leq a_1 \cdot \frac{1^2}{3^2} \cdot \frac{3^2}{4^2} = a_1 \cdot \frac{1^2}{4^2}$
  一般地，通过累乘可以得到 $a_n \leq a_1 \cdot \frac{1^2}{n^2} = \frac{a_1}{n^2}$。
  因为 $p$ 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的（$p = 2\gt{}1$），根据比较判别法，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 也收敛，选项C正确。

选项D

若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim_{n \to \infty} n a_n = 0$。
即使正项级数收敛，$n a_n$ 的极限也不一定存在，更不一定为 0。
反例：构造一个级数，使其在绝大多数项上衰减很快，但在某些特定的项上衰减较慢。
设 $a_n = \begin{cases} \frac{1}{n}, & n = k^2 \text{ (即 } n=1, 4, 9, 16, \dots \text{)} \\ \frac{1}{n^2}, & n \neq k^2 \end{cases}$
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{k=1}^{\infty} a_{k^2} + \sum_{n \neq k^2} a_n = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} + \sum_{n \neq k^2} \frac{1}{n^2}$。
因为 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ 收敛，且 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，所以 $\sum_{n \neq k^2} \frac{1}{n^2}$ 也收敛。因此 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。
但是，当 $n = k^2$ 时，$n a_n = k^2 \cdot \frac{1}{k^2} = 1$。
当 $n$ 取其他值时，$n a_n = n \cdot \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$。
由于子序列 $n a_{k^2} = 1$ 不趋于 0，所以 $\lim_{n \to \infty} n a_n$ 不存在，不等于 0，选项D错误。