题目

根式计算.(1) sqrt((4)/(25));(2) sqrt(11^2 + (4sqrt(3))^2);(3) 3sqrt(2) + 4sqrt((1)/(2)) - (1)/(2)sqrt(2);(4) sqrt(x^2);(5) sqrt(sqrt(sqrt{x))};

根式计算. (1) $\sqrt{\frac{4}{25}}$; (2) $\sqrt{11^2 + (4\sqrt{3})^2}$; (3) $3\sqrt{2} + 4\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}\sqrt{2}$; (4) $\sqrt{x^2}$; (5) $\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}$;

题目解答

答案

我们来逐题分析并计算这些根式表达式： --- ### (1) $\sqrt{\frac{4}{25}}$ 这是一个分数的平方根。我们可以分别对分子和分母开平方： $$ \sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5} $$ ✅ **答案：** $\boxed{\frac{2}{5}}$ --- ### (2) $\sqrt{11^2 + (4\sqrt{3})^2}$ 先分别计算平方项： - $11^2 = 121$ - $(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$ 所以： $$ \sqrt{11^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{121 + 48} = \sqrt{169} = 13 $$ ✅ **答案：** $\boxed{13}$ --- ### (3) $3\sqrt{2} + 4\sqrt{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}\sqrt{2}$ 我们先处理每一项，尤其是 $\sqrt{\frac{1}{2}}$： $$ \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 所以： $$ 4\sqrt{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} $$ 现在代入原式： $$ 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{2} = \left(3 + 2 - \frac{1}{2}\right)\sqrt{2} = \left(5 - \frac{1}{2}\right)\sqrt{2} = \frac{9}{2}\sqrt{2} $$ ✅ **答案：** $\boxed{\frac{9}{2}\sqrt{2}}$ --- ### (4) $\sqrt{x^2}$ 这是一个常见的根式表达式。注意： - 如果 $x$ 是实数，那么 $\sqrt{x^2} = |x|$，因为平方后总是非负，开平方后也要保持非负。 ✅ **答案：** $\boxed{|x|}$ --- ### (5) $\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}$ 这是一个多层根式，我们可以用幂的形式来简化： - $\sqrt{x} = x^{1/2}$ - $\sqrt{\sqrt{x}} = (x^{1/2})^{1/2} = x^{1/4}$ - $\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} = (x^{1/4})^{1/2} = x^{1/8}$ ✅ **答案：** $\boxed{x^{1/8}}$ --- ### 总结答案： 1. $\boxed{\frac{2}{5}}$ 2. $\boxed{13}$ 3. $\boxed{\frac{9}{2}\sqrt{2}}$ 4. $\boxed{|x|}$ 5. $\boxed{x^{1/8}}$

解析

根式的基本性质：掌握平方根的运算规则，如分数的平方根可分解为分子、分母分别开平方；多个平方项的和开平方需先计算总和。
根式的化简与合并：将不同形式的根式转化为相同根式后合并同类项，注意分母有理化的处理。
绝对值的处理：$\sqrt{x^2}$的结果需根据$x$的正负性用绝对值表示。
多层根式的指数转换：将连续根号转换为分数指数形式，通过指数运算简化表达式。

第（1）题

分解分数的平方根

$\sqrt{\frac{4}{25}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$。

第（2）题

计算平方项

$11^2 = 121$，$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$。

求和并开平方

$\sqrt{121 + 48} = \sqrt{169} = 13$。

第（3）题

化简$\sqrt{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$4\sqrt{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$。

合并同类项

$3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{2} = \left(3 + 2 - \frac{1}{2}\right)\sqrt{2} = \frac{9}{2}\sqrt{2}$。

第（4）题

绝对值的性质

$\sqrt{x^2}$的结果为非负数，因此$\sqrt{x^2} = |x|$。

第（5）题

转换为指数形式

$\sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} = (x^{1/2})^{1/2 \cdot 1/2} = x^{1/8}$。