题目

下列各函数可作为随机变量分布函数的是( )A._(1)(x)= ) 2x, 0leqslant xleqslant 1 0, .

下列各函数可作为随机变量分布函数的是( )
  • A.
  • B.
  • C.
  • D.

题目解答

答案

B. ${F}_{2}(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} 0,\quad x\lt 0,\\ x,\quad 0\leqslant x\lt 1\\ 1,\quad x\geqslant 1.\end{matrix} \right.$

解析

分布函数需要满足以下性质：

  1. 非递减性：若 $x_1 < x_2$，则 $F(x_1) \leq F(x_2)$；
  2. 极限条件：$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$；
  3. 右连续性：$\lim_{y \downarrow x} F(y) = F(x)$；
  4. 值域限制：对任意 $x$，有 $0 \leq F(x) \leq 1$。

通过逐一验证选项是否满足上述性质即可判断正确答案。

选项A：$F_1(x)$

  • 定义：
    $F_1(x) = \begin{cases} 2x, & 0 \leq x \leq 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$
  • 分析：
    • 当 $x \geq 1$ 时，$F_1(x) = 0$，但 $\lim_{x \to +\infty} F_1(x) = 0 \neq 1$，不满足极限条件；
    • 当 $x = 1$ 时，$F_1(1) = 2 \cdot 1 = 2 > 1$，超出值域范围。
  • 结论：排除。

选项B：$F_2(x)$

  • 定义：
    $F_2(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ x, & 0 \leq x < 1, \\ 1, & x \geq 1. \end{cases}$
  • 分析：
    • 非递减性：函数随 $x$ 增大单调不减；
    • 极限条件：$\lim_{x \to -\infty} F_2(x) = 0$，$\lim_{x \to +\infty} F_2(x) = 1$；
    • 右连续性：在 $x = 1$ 处，$\lim_{y \downarrow 1} F_2(y) = 1 = F_2(1)$；
    • 值域限制：所有取值均在 $[0,1]$ 内。
  • 结论：满足所有性质。

选项C：$F_3(x)$

  • 定义：
    $F_3(x) = \begin{cases} -1, & x < -1, \\ x, & -1 \leq x < 1, \\ 1, & x \geq 1. \end{cases}$
  • 分析：
    • 当 $x < -1$ 时，$F_3(x) = -1 < 0$，超出值域范围；
    • 在 $x = -1$ 处，函数从 $-1$ 突变为 $-1$（实际未改变），但整体仍存在负值。
  • 结论：排除。

选项D：$F_4(x)$

  • 定义：
    $F_4(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ 2x, & 0 \leq x < 1, \\ 2, & x \geq 1. \end{cases}$
  • 分析：
    • 当 $x \geq 1$ 时，$F_4(x) = 2 > 1$，超出值域范围；
    • $\lim_{x \to +\infty} F_4(x) = 2 \neq 1$，不满足极限条件。
  • 结论：排除。