题目
lim _(xarrow dfrac {pi )(2)}dfrac (cos x)(pi -2x).
.
题目解答
答案
.
解析
步骤 1：应用洛必达法则
由于当$x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}$时，分子$\cos x$和分母$\pi -2x$都趋于0，因此原极限是$\dfrac{0}{0}$型不定式，可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$是$\dfrac{0}{0}$或$\dfrac{\infty}{\infty}$型不定式，且$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$存在，则$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$。
步骤 2：求导
对分子$\cos x$求导得到$-\sin x$，对分母$\pi -2x$求导得到$-2$。因此，原极限变为$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {-\sin x}{-2}$。
步骤 3：计算极限
将$x=\dfrac {\pi }{2}$代入$\dfrac {-\sin x}{-2}$中，得到$\dfrac {-\sin \dfrac {\pi }{2}}{-2}=\dfrac {-1}{-2}=\dfrac {1}{2}$。
由于当$x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}$时，分子$\cos x$和分母$\pi -2x$都趋于0，因此原极限是$\dfrac{0}{0}$型不定式，可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}$是$\dfrac{0}{0}$或$\dfrac{\infty}{\infty}$型不定式，且$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$存在，则$\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$。
步骤 2：求导
对分子$\cos x$求导得到$-\sin x$，对分母$\pi -2x$求导得到$-2$。因此，原极限变为$\lim _{x\rightarrow \dfrac {\pi }{2}}\dfrac {-\sin x}{-2}$。
步骤 3：计算极限
将$x=\dfrac {\pi }{2}$代入$\dfrac {-\sin x}{-2}$中，得到$\dfrac {-\sin \dfrac {\pi }{2}}{-2}=\dfrac {-1}{-2}=\dfrac {1}{2}$。