题目

1.设直线(x-1)/(4)=(y+2)/(3)=(z)/(1)与平面mx+3y-5z+1=0平行，则m=____

1.设直线$\frac{x-1}{4}=\frac{y+2}{3}=\frac{z}{1}$与平面$mx+3y-5z+1=0$平行，则m=____

题目解答

答案

直线 $\frac{x-1}{4} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$ 的方向向量为 $\vec{d} = (4, 3, 1)$，平面 $mx + 3y - 5z + 1 = 0$ 的法向量为 $\vec{n} = (m, 3, -5)$。
由于直线与平面平行，方向向量与法向量垂直，即 $\vec{d} \cdot \vec{n} = 0$。
计算点积：
$\vec{d} \cdot \vec{n} = 4m + 9 - 5 = 4m + 4$
令点积等于零，解得：
$4m + 4 = 0 \implies m = -1$

答案： $\boxed{-1}$

解析

本题考查直线与平面的位置关系以及向量垂直的性质。解题的关键思路是利用直线与平面平行时，直线的方向向量与平面的法向量垂直这一性质，通过向量点积为零来求解参数 $m$ 的值。

  1. 首先，根据直线的对称式方程$\frac{x - x_0}{l}=\frac{y - y_0}{m}=\frac{z - z_0}{n}$（其中$(l,m,n)$为直线的方向向量），对于直线$\frac{x - 1}{4}=\frac{y + 2}{3}=\frac{z}{1}$，其方向向量$\vec{d}=(4,3,1)$。
  2. 然后，对于平面的一般式方程$Ax+By + Cz+D = 0$（其中$(A,B,C)$为平面的法向量），对于平面$mx + 3y-5z + 1 = 0$，其法向量$\vec{n}=(m,3,-5)$。
  3. 因为直线与平面平行，根据直线与平面平行的性质可知，直线的方向向量与平面的法向量垂直。而两个向量垂直的充要条件是它们的点积为$0$，即$\vec{d}\cdot\vec{n}=0$。
  4. 接下来计算向量$\vec{d}$和$\vec{n}$的点积，根据向量点积的坐标运算公式$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2 + y_1y_2+z_1z_2$，可得：
    • $\vec{d}\cdot\vec{n}=4\times m+3\times3 + 1\times(-5)$
    • 化简得$\vec{d}\cdot\vec{n}=4m + 9-5=4m + 4$。
  5. 最后，令$\vec{d}\cdot\vec{n}=0$，即$4m + 4 = 0$。
    • 移项可得$4m=-4$。
    • 两边同时除以$4$，解得$m=-1$。