【计算题】求曲线y=x^2-8与直线2x+y+8=0，y=-4所围成图形的面积

为了求出曲线 $ y = x^2 - 8 $ 与直线 $ 2x + y + 8 = 0 $ 和 $ y = -4 $ 所围成图形的面积，我们需要按照以下步骤进行： 1. **找到交点：** - **曲线 $ y = x^2 - 8 $ 与直线 $ y = -4 $ 的交点：** \[ x^2 - 8 = -4 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] 所以，交点是 $ (-2, -4) $ 和 $ (2, -4) $。 - **曲线 $ y = x^2 - 8 $ 与直线 $ 2x + y + 8 = 0 $ 的交点：** 将 $ y = -2x - 8 $ 代入 $ y = x^2 - 8 $： \[ x^2 - 8 = -2x - 8 \implies x^2 + 2x = 0 \implies x(x + 2) = 0 \implies x = 0 \text{ 或 } x = -2 \] 对于 $ x = 0 $， $ y = -8 $。对于 $ x = -2 $， $ y = -4 $。所以，交点是 $ (-2, -4) $ 和 $ (0, -8) $。 - **直线 $ 2x + y + 8 = 0 $ 与直线 $ y = -4 $ 的交点：** 将 $ y = -4 $ 代入 $ 2x + y + 8 = 0 $： \[ 2x - 4 + 8 = 0 \implies 2x + 4 = 0 \implies x = -2 \] 所以，交点是 $ (-2, -4) $。 2. **确定积分区域：** - 从 $ x = -2 $ 到 $ x = 0 $，区域在曲线 $ y = x^2 - 8 $ 和直线 $ y = -2x - 8 $ 之间。 - 从 $ x = 0 $ 到 $ x = 2 $，区域在曲线 $ y = x^2 - 8 $ 和直线 $ y = -4 $ 之间。 3. **计算面积：** - 从 $ x = -2 $ 到 $ x = 0 $ 的面积： \[ \int_{-2}^{0} \left[ (-2x - 8) - (x^2 - 8) \right] \, dx = \int_{-2}^{0} (-2x - x^2) \, dx \] \[ = \left[ -x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} = \left( 0 - 0 \right) - \left( -(-2)^2 - \frac{(-2)^3}{3} \right) = 0 - \left( -4 + \frac{8}{3} \right) = 4 - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} \] - 从 $ x = 0 $ 到 $ x = 2 $ 的面积： \[ \int_{0}^{2} \left[ -4 - (x^2 - 8) \right] \, dx = \int_{0}^{2} (-x^2 + 4) \, dx \] \[ = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x \right]_{0}^{2} = \left( -\frac{2^3}{3} + 4 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 4 \cdot 0 \right) = \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) - 0 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} - \frac{8}{3} = \frac{16}{3} \] 4. **将两个面积相加：** \[ \frac{4}{3} + \frac{16}{3} = \frac{20}{3} \] 因此，曲线 $ y = x^2 - 8 $ 与直线 $ 2x + y + 8 = 0 $ 和 $ y = -4 $ 所围成图形的面积是 $\boxed{\frac{20}{3}}$。