题目

从区间(0,1)内任取两数，求这两个数的积小于(1)/(4)的概率。

从区间$(0,1)$内任取两数，求这两个数的积小于$\frac{1}{4}$的概率。

题目解答

答案

我们来解决这个概率问题：

题目：从区间 $(0,1)$ 内任取两个数，求这两个数的积小于 $\frac{1}{4}$ 的概率。

第一步：理解题意

从区间 $(0,1)$ 中独立且均匀地任取两个数，记为 $x$ 和 $y$，即：

  • $x \in (0,1)$，$y \in (0,1)$，
  • $x$ 和 $y$ 服从 $(0,1)$ 上的均匀分布，且相互独立。

我们要求的是概率：
$P(xy < \frac{1}{4})$

第二步：转化为几何概率问题

由于 $x$ 和 $y$ 都在 $(0,1)$ 内，我们可以将所有可能的 $(x, y)$ 看作单位正方形 $(0,1) \times (0,1)$ 内的点。

这个单位正方形的面积是 1。

我们要求的是满足 $xy < \frac{1}{4}$ 的区域在这个正方形中所占的面积，即：
$P = \iint_{\{(x,y)\in(0,1)^2 \mid xy < \frac{1}{4}\}} dx\,dy$

第三步：分析区域 $xy < \frac{1}{4}$

我们考虑曲线 $xy = \frac{1}{4}$，即 $y = \frac{1}{4x}$。

在单位正方形 $(0,1) \times (0,1)$ 中，这条双曲线将区域分成两部分：

  • 当 $xy < \frac{1}{4}$：在双曲线下方；
  • 当 $xy > \frac{1}{4}$：在双曲线上方。

我们关心的是 $xy < \frac{1}{4}$ 的面积。

注意：当 $x$ 很小时，$\frac{1}{4x}$ 会大于 1，此时 $y = \frac{1}{4x} > 1$，但 $y$ 最大只能是 1，所以我们需要找到双曲线 $y = \frac{1}{4x}$ 与 $y=1$ 的交点。

令 $y = 1 = \frac{1}{4x}$，解得：
$x = \frac{1}{4}$

同理，当 $x < \frac{1}{4}$ 时，$\frac{1}{4x} > 1$，所以在 $x \in (0, \frac{1}{4})$ 时，对任意 $y \in (0,1)$，都有 $xy < x \cdot 1 < \frac{1}{4}$，即整个竖直条带 $x \in (0, \frac{1}{4})$ 都满足 $xy < \frac{1}{4}$。

而当 $x \in [\frac{1}{4}, 1)$ 时，只有当 $y < \frac{1}{4x}$ 时，才满足 $xy < \frac{1}{4}$。

第四步：分段积分计算面积

我们将满足 $xy < \frac{1}{4}$ 的区域分为两部分：

1. 当 $0 < x \leq \frac{1}{4}$：

对于这些 $x$，任意 $y \in (0,1)$ 都满足 $xy < \frac{1}{4}$，所以这部分面积是：
$\int_0^{1/4} \int_0^1 dy\,dx = \int_0^{1/4} 1\,dx = \frac{1}{4}$

2. 当 $\frac{1}{4} < x < 1$：

此时要求 $y < \frac{1}{4x}$，且 $y > 0$，所以这部分面积是：
$\int_{1/4}^1 \int_0^{1/(4x)} dy\,dx = \int_{1/4}^1 \frac{1}{4x}\,dx$

计算这个积分：
$\int_{1/4}^1 \frac{1}{4x}\,dx = \frac{1}{4} \int_{1/4}^1 \frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{4} [\ln x]_{1/4}^1 = \frac{1}{4} (\ln 1 - \ln \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} (0 - (-\ln 4)) = \frac{1}{4} \ln 4$

而 $\ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2$，所以：
$\frac{1}{4} \ln 4 = \frac{1}{4} \cdot 2\ln 2 = \frac{1}{2} \ln 2$

第五步：总面积（即概率）

将两部分面积相加：
$P = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \ln 2$

第六步：数值近似（可选）

$\ln 2 \approx 0.6931$，所以：
$P \approx 0.25 + 0.5 \times 0.6931 = 0.25 + 0.34655 = 0.59655$

即大约 59.66% 的概率。

最终答案：

$\boxed{\frac{1}{4} + \frac{1}{2} \ln 2}$

这就是从 $(0,1)$ 中任取两数，其积小于 $\frac{1}{4}$ 的概率。

解析

本题考查几何概型的概率计算。解题思路是先将从区间$(0,1)$内任取两个数的问题转化为平面直角坐标系中的几何区域问题，然后通过分析满足条件的区域，利用定积分计算该区域的面积，最后根据几何概型的概率公式$P(A)=\frac{构成事件A的区域长度(面积或体积)}{试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)}$求出概率。

详细解答

  1. 确定试验的全部结果所构成的区域：
    从区间$(0,1)$内任取两个数$x$和$y$，则所有可能的$(x,y)$构成的区域为单位正方形$\Omega =\{(x,y)|0\lt x\lt1,0\lt y\lt1\}$，其面积$S_{\Omega}=1\times1 = 1$。
  2. 确定满足条件的区域：
    要求两个数的积小于$\frac{1}{4}$，即满足$xy\lt\frac{1}{4}$。考虑曲线$y = \frac{1}{4x}$，它与$y = 1$的交点可通过令$1=\frac{1}{4x}$，解得$x=\frac{1}{4}$。
    • 当$0\lt x\leq\frac{1}{4}$时，对于任意$y\in(0,1)$，都有$xy\lt x\cdot1\lt\frac{1}{4}$，这部分区域是一个矩形，其面积$S_1=\int_{0}^{\frac{1}{4}}dx\times1=\left[x\right]_{0}^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}$。
    • 当$\frac{1}{4}\lt x\lt1$时，要满足$xy\lt\frac{1}{4}$，则$0\lt y\lt\frac{1}{4x}$，这部分区域的面积$S_2=\int_{\frac{1}{4}}^{1}\frac{1}{4x}dx$。
      根据积分公式$\int\frac{1}{x}dx=\ln x + C$，可得：
      $S_2=\frac{1}{4}\int_{\frac{1}{4}}^{1}\frac{1}{x}dx=\frac{1}{4}[\ln x]_{\frac{1}{4}}^{1}=\frac{1}{4}(\ln1-\ln\frac{1}{4})=\frac{1}{4}(0 - (-\ln4))=\frac{1}{4}\ln4$。
      又因为$\ln4=\ln2^2 = 2\ln2$，所以$S_2=\frac{1}{4}\times2\ln2=\frac{1}{2}\ln2$。
  3. 计算满足条件的区域面积：
    满足$xy\lt\frac{1}{4}$的区域面积$S = S_1 + S_2=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\ln2$。
  4. 计算概率：
    根据几何概型的概率公式，所求概率$P=\frac{S}{S_{\Omega}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\ln2$。