5.已知 (x)=sum _(n=1)^infty ((-1))^n-1dfrac (1)((2n-1)!)((pi x))^2n-1 则 f(1)=()-|||-A. -1 B.0-|||-C.1 D.π

考查要点：本题主要考查对泰勒展开式的理解与应用，特别是对正弦函数展开式的识别能力。

解题核心思路：
题目给出的级数形式与正弦函数的泰勒展开式结构一致。通过对比通项，可以确定该级数对应的是$\sin(\pi x)$的展开式，从而直接代入$x=1$求解。

破题关键点：

1. 识别级数形式：观察到级数中$(-1)^{n-1}$和$\frac{1}{(2n-1)!}$的组合，与$\sin x$的标准展开式形式相同。
2. 变量替换：题目中的$(\pi x)^{2n-1}$表明原级数是$\sin(\pi x)$的展开式。
3. 代入求值：直接计算$\sin(\pi \cdot 1)$即可得到结果。

步骤1：写出正弦函数的泰勒展开式
正弦函数$\sin x$的泰勒展开式为：
$\sin x = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$

步骤2：对比题目中的级数形式
题目给出的级数为：
$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{(2n-1)!} (\pi x)^{2n-1}$
将$\pi x$代入$\sin x$的展开式中，得到：
$\sin(\pi x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{(\pi x)^{2n-1}}{(2n-1)!}$
因此，$f(x) = \sin(\pi x)$。

步骤3：计算$f(1)$
将$x=1$代入$f(x)$中：
$f(1) = \sin(\pi \cdot 1) = \sin \pi = 0$