题目

20.求函数f(x,y)=(2x^2-y^2)e^x的极值。

20.求函数$f(x,y)=(2x^{2}-y^{2})e^{x}$的极值。

题目解答

答案

求函数 $ f(x, y) = (2x^2 - y^2)e^x $ 的极值。

  1. 求偏导数：
    $ f_x = e^x(2x^2 + 4x - y^2) $， $ f_y = -2ye^x $。

  2. 找驻点：
    由 $ f_y = 0 $ 得 $ y = 0 $，代入 $ f_x = 0 $ 得 $ x = 0 $ 或 $ x = -2 $。
    驻点为 $ (0, 0) $ 和 $ (-2, 0) $。

  3. 二阶导数测试：
    $ f_{xx} = e^x(2x^2 + 8x + 4) $， $ f_{xy} = -2ye^x $， $ f_{yy} = -2e^x $。

    • 对 $ (0, 0) $：$ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 4 \times (-2) - 0 = -8 < 0 $，为鞍点。
    • 对 $ (-2, 0) $：$ D = (-4e^{-2}) \times (-2e^{-2}) - 0 = 8e^{-4} > 0 $，且 $ f_{xx} < 0 $，为极大值。

  4. 计算极值：
    $ f(-2, 0) = 8e^{-2} $。

答案：极大值 $ \boxed{\frac{8}{e^2}} $（或 $ \boxed{8e^{-2}} $），无极小值。

解析

本题考查二元函数极值的求解，解题思路是先求出函数的驻点，再通过二阶偏导数判断驻点是否为极值点并确定是极大值还是极小值。

  1. 求函数的一阶偏导数：
    • 对$f(x,y)=(2x^{2}-y^{2})e^{x}$关于$x$求偏导数，根据乘积法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = 2x^2 - y^2$，$v = e^x$，可得：
      $f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=(2x^2 - y^2)^\prime e^x+(2x^2 - y^2)(e^x)^\prime=(4x)e^x+(2x^2 - y^2)e^x=e^x(2x^2 + 4x - y^2)$
    • 对$f(x,y)=(2x^{2}-y^{2})e^{x}$关于$y$求偏导数，此时$e^x$看作常数，可得：
      $f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=(2x^2 - y^2)^\prime e^x=-2ye^x$
  2. 求驻点：
    令$\begin{cases}f_x = 0\\f_y = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}e^x(2x^2 + 4x - y^2)=0\\-2ye^x = 0\end{cases}$。
    因为$e^x\gt0$恒成立，所以由$-2ye^x = 0$可得$y = 0$。
    将$y = 0$代入$e^x(2x^2 + 4x - y^2)=0$，得到$e^x(2x^2 + 4x)=0$，即$2x(x + 2)=0$，解得$x = 0$或$x = -2$。
    所以驻点为$(0, 0)$和$(-2, 0)$。
  3. 求函数的二阶偏导数：
    • 对$f_x = e^x(2x^2 + 4x - y^2)$关于$x$求偏导数，同样根据乘积法则，可得：
      $f_{xx}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=(2x^2 + 4x - y^2)^\prime e^x+(2x^2 + 4x - y^2)(e^x)^\prime=(4x + 4)e^x+(2x^2 + 4x - y^2)e^x=e^x(2x^2 + 8x + 4)$
    • 对$f_x = e^x(2x^2 + 4x - y^2)$关于$y$求偏导数，可得：
      $f_{xy}=\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=(2x^2 + 4x - y^2)^\prime e^x=-2ye^x$
    • 对$f_y = -2ye^x$关于$y$求偏导数，可得：
      $f_{yy}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-2e^x$
  4. 用二阶导数测试判断驻点是否为极值点：
    • 对于驻点$(0, 0)$：
      计算$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$，将$x = 0$，$y = 0$代入二阶偏导数中，可得$f_{xx}(0,0)=4$，$f_{xy}(0,0)=0$，$f_{yy}(0,0)=-2$，则$D = 4\times(-2) - 0^2 = -8\lt0$，所以$(0, 0)$是鞍点，不是极值点。
    • 对于驻点$(-2, 0)$：
      将$x = -2$，$y = 0$代入二阶偏导数中，可得$f_{xx}(-2,0)=e^{-2}(2\times(-2)^2 + 8\times(-2) + 4)=-4e^{-2}$，$f_{xy}(-2,0)=0$，$f_{yy}(-2,0)=-2e^{-2}$，则$D = (-4e^{-2})\times(-2e^{-2}) - 0^2 = 8e^{-4}\gt0$，且$f_{xx}(-2,0)=-4e^{-2}\lt0$，所以$(-2, 0)$是极大值点。
  5. 计算极大值：
    将$(-2, 0)$代入函数$f(x,y)$中，可得$f(-2, 0)=(2\times(-2)^2 - 0^2)e^{-2}=8e^{-2}=\frac{8}{e^2}$。