4.[单选题]函数f(z)=(1)/(z(z-1))在圆环1A. (1)/(z)sum_(n=0)^inftyz^nB. -(1)/(z)sum_(0=n)^inftyz^nC. (1)/(z^2)sum_(n=0)^infty((1)/(z))^nD. -(1)/(z^2)sum_(0=n)^infty((1)/(z))^n

本题考查函数在指定圆环域内展开成洛朗级数的知识。解题思路是先对给定函数进行变形，使其能利用已知的幂级数展开公式，再根据幂级数展开公式进行展开。

已知函数$f(z)=\frac{1}{z(z - 1)}$，要在圆环$1\lt|z|\lt\infty$内展开成洛朗级数。

• 步骤一：对函数进行变形
  将$f(z)=\frac{1}{z(z - 1)}$变形为$f(z)=\frac{1}{z^2(1-\frac{1}{z})}$。
• 步骤二：利用幂级数展开公式
  对于$\frac{1}{1 - w}$，当$|w|\lt1$时，其幂级数展开式为$\sum_{n = 0}^{\infty}w^n$。
  在本题中，$w = \frac{1}{z}$，由于$1\lt|z|\lt\infty$，那么$|\frac{1}{z}|\lt1$，所以$\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{1}{z})^n$。
• 步骤三：得到洛朗级数
  将$\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{1}{z})^n$代入$f(z)=\frac{1}{z^2(1-\frac{1}{z})}$中，可得$f(z)=\frac{1}{z^2}\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{1}{z})^n$。