题目

4.4 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= ) 6(1-y), 0lt xlt ylt 1 0, .

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二维随机变量的联合概率密度在特定区域上的积分计算，涉及几何区域的确定和二重积分的应用。

解题思路：

  1. 确定积分区域：根据题目条件，明确每个小问对应的区域，并与原联合密度非零区域（$0 < x < y < 1$）求交集。
  2. 绘制图形辅助分析：通过图形直观确定积分上下限，避免遗漏或错误。
  3. 分步积分计算：先对一个变量积分，再对另一个变量积分，注意调整积分顺序以简化计算。

关键点：

  • 联合密度非零区域：$0 < x < y < 1$，即点$(x,y)$位于$y > x$且$0 < y < 1$的三角形区域。
  • 事件区域的交集：需结合题目条件（如$X > 0.5$、$Y < 0.5$等）与原区域求交集，确定有效积分范围。

(1) 求 $P\{ X > 0.5, Y > 0.5 \}$

积分区域：
原非零区域与$\{ X > 0.5, Y > 0.5 \}$的交集为$x$从$0.5$到$y$，$y$从$0.5$到$1$。

计算步骤：

  1. 对$x$积分：
    $\displaystyle \int_{0.5}^{y} 6(1 - y) \, dx = 6(1 - y)(y - 0.5)$
  2. 对$y$积分：
    $\displaystyle \int_{0.5}^{1} 6(1 - y)(y - 0.5) \, dy = \frac{1}{8}$

结果：
$P\{ X > 0.5, Y > 0.5 \} = \frac{1}{8}$

(2) 求 $P\{ X < 0.5 \}$ 和 $P\{ Y < 0.5 \}$

$P\{ X < 0.5 \}$

积分区域：
$x$从$0$到$0.5$，$y$从$x$到$1$。

计算步骤：

  1. 对$y$积分：
    $\displaystyle \int_{x}^{1} 6(1 - y) \, dy = 6 \left[ 0.5 - x + 0.5x^2 \right]$
  2. 对$x$积分：
    $\displaystyle \int_{0}^{0.5} 6 \left( 0.5 - x + 0.5x^2 \right) \, dx = \frac{7}{8}$

结果：
$P\{ X < 0.5 \} = \frac{7}{8}$

$P\{ Y < 0.5 \}$

积分区域：
$y$从$0$到$0.5$，$x$从$0$到$y$。

计算步骤：

  1. 对$x$积分：
    $\displaystyle \int_{0}^{y} 6(1 - y) \, dx = 6y(1 - y)$
  2. 对$y$积分：
    $\displaystyle \int_{0}^{0.5} 6y(1 - y) \, dy = \frac{1}{2}$

结果：
$P\{ Y < 0.5 \} = \frac{1}{2}$

(3) 求 $P\{ X + Y < 1 \}$

积分区域：
$x$从$0$到$0.5$，$y$从$x$到$1 - x$（因$x + y < 1$且$x < y$）。

计算步骤：

  1. 对$y$积分：
    $\displaystyle \int_{x}^{1 - x} 6(1 - y) \, dy = 6(0.5 - x)$
  2. 对$x$积分：
    $\displaystyle \int_{0}^{0.5} 6(0.5 - x) \, dx = \frac{3}{4}$

结果：
$P\{ X + Y < 1 \} = \frac{3}{4}$