函数f（x）=x3+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（ ）A. （-∞，-2）B. （-∞，-3）C. （-4，-1）D. （-3，0）

考查要点：本题主要考查三次函数零点的存在条件，涉及导数的应用及极值点的分析。

解题核心思路：三次函数存在三个零点的条件是其图像必须与x轴相交三次。此时，函数需满足极大值大于0且极小值小于0（或反之）。通过求导找到极值点，代入原函数计算极值，分析符号即可确定参数范围。

破题关键点：

1. 求导确定极值点：三次函数的导数为二次函数，解方程得极值点位置。
2. 分析极值符号：将极值点代入原函数，确保极大值与极小值符号相反。
3. 参数范围推导：通过极值符号条件解不等式，最终确定参数$a$的取值范围。

步骤1：求导数并确定极值点

函数$f(x) = x^3 + ax + 2$的导数为：
$f'(x) = 3x^2 + a$
令$f'(x) = 0$，解得极值点：
$x = \pm \sqrt{-\frac{a}{3}}$
关键条件：当$a < 0$时，方程有实数解，即存在极值点。

步骤2：计算极值点的函数值

设$t = \sqrt{-\frac{a}{3}}$（$t > 0$），则极值点为$x = \pm t$，代入原函数：

• 极大值点（$x = -t$）：
  $f(-t) = (-t)^3 + a(-t) + 2 = -t^3 - at + 2$
  代入$a = -3t^2$（由$t^2 = -\frac{a}{3}$）：
  $f(-t) = -t^3 - (-3t^2)t + 2 = 2t^3 + 2$
• 极小值点（$x = t$）：
  $f(t) = t^3 + at + 2$
  同理代入$a = -3t^2$：
  $f(t) = t^3 + (-3t^2)t + 2 = -2t^3 + 2$

步骤3：分析极值符号

• 极大值$f(-t) > 0$：$2t^3 + 2 > 0$恒成立（$t > 0$）。
• 极小值$f(t) < 0$：
  $-2t^3 + 2 < 0 \implies t^3 > 1 \implies t > 1$
  结合$t = \sqrt{-\frac{a}{3}}$，得：
  $\sqrt{-\frac{a}{3}} > 1 \implies -\frac{a}{3} > 1 \implies a < -3$

结论：当$a < -3$时，函数存在三个零点。