题目
21.(本题满分12分)设3阶实对称矩阵A有特征值 (lambda )_(1)=(lambda )_(2)=1 ,且 |A-4E|=0, 又-|||-alpha =((1,0,-2))^T 是方程组 =4a 的解.-|||-(I)求正交矩阵Q,使得矩阵A可以相似于对角矩阵;-|||-(Ⅱ)求正定矩阵C,使得 ^2=(A)^*
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定特征值和特征向量
已知矩阵A有特征值 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=1$ 和特征值 ${\lambda }_{3}=4$。因为 $\alpha =(1,0,-2)^T$ 是方程组 $Ax=4x$ 的解，所以 $\alpha$ 是特征值 ${\lambda }_{3}=4$ 对应的特征向量。
步骤 2：求特征向量
由于A是实对称矩阵，其特征向量可以正交化。已知 $\alpha =(1,0,-2)^T$ 是特征值 ${\lambda }_{3}=4$ 对应的特征向量，我们还需要找到特征值 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=1$ 对应的两个线性无关的特征向量。设这两个特征向量为 ${\alpha }_{1}$ 和 ${\alpha }_{2}$，则有 $A{\alpha }_{1}={\alpha }_{1}$ 和 $A{\alpha }_{2}={\alpha }_{2}$。由于A是实对称矩阵，我们可以选择 ${\alpha }_{1}=(0,1,0)^T$ 和 ${\alpha }_{2}=(2,0,1)^T$ 作为特征值 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=1$ 对应的特征向量。
步骤 3：正交化和单位化
将特征向量 ${\alpha }_{1}$ 和 ${\alpha }_{2}$ 正交化和单位化，得到正交矩阵Q。正交化后得到的向量为 ${\alpha }_{1}=(0,1,0)^T$ 和 ${\alpha }_{2}=(2,0,1)^T$。单位化后得到的向量为 ${\alpha }_{1}=(0,1,0)^T$ 和 ${\alpha }_{2}=(\frac{2}{\sqrt{5}},0,\frac{1}{\sqrt{5}})^T$。特征向量 $\alpha$ 已经是单位向量，所以不需要单位化。因此，正交矩阵Q为：
$$
Q=\begin{pmatrix}
0 & \frac{2}{\sqrt{5}} & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{5}} & -2
\end{pmatrix}
$$
步骤 4：求正定矩阵C
由于 ${C}^{2}={A}^{*}$，我们需要先求出 ${A}^{*}$。因为A是实对称矩阵，所以 ${A}^{*}=|A|{A}^{-1}$。已知A的特征值为 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=1$ 和 ${\lambda }_{3}=4$，所以 $|A|={\lambda }_{1}{\lambda }_{2}{\lambda }_{3}=4$。因此， ${A}^{*}=4{A}^{-1}$。由于 $A=Q\Lambda {Q}^{T}$，其中 $\Lambda$ 是对角矩阵，所以 ${A}^{-1}=Q{\Lambda }^{-1}{Q}^{T}$。因此， ${A}^{*}=4Q{\Lambda }^{-1}{Q}^{T}$。因为 ${C}^{2}={A}^{*}$，所以 $C=2Q{\Lambda }^{-\frac{1}{2}}{Q}^{T}$。其中， ${\Lambda }^{-\frac{1}{2}}$ 是对角矩阵，其对角线上的元素为 ${\lambda }_{1}^{-\frac{1}{2}}$， ${\lambda }_{2}^{-\frac{1}{2}}$ 和 ${\lambda }_{3}^{-\frac{1}{2}}$。因此， ${\Lambda }^{-\frac{1}{2}}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}$。所以， $C=2Q{\Lambda }^{-\frac{1}{2}}{Q}^{T}$。
已知矩阵A有特征值 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=1$ 和特征值 ${\lambda }_{3}=4$。因为 $\alpha =(1,0,-2)^T$ 是方程组 $Ax=4x$ 的解，所以 $\alpha$ 是特征值 ${\lambda }_{3}=4$ 对应的特征向量。
步骤 2：求特征向量
由于A是实对称矩阵，其特征向量可以正交化。已知 $\alpha =(1,0,-2)^T$ 是特征值 ${\lambda }_{3}=4$ 对应的特征向量，我们还需要找到特征值 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=1$ 对应的两个线性无关的特征向量。设这两个特征向量为 ${\alpha }_{1}$ 和 ${\alpha }_{2}$，则有 $A{\alpha }_{1}={\alpha }_{1}$ 和 $A{\alpha }_{2}={\alpha }_{2}$。由于A是实对称矩阵，我们可以选择 ${\alpha }_{1}=(0,1,0)^T$ 和 ${\alpha }_{2}=(2,0,1)^T$ 作为特征值 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=1$ 对应的特征向量。
步骤 3：正交化和单位化
将特征向量 ${\alpha }_{1}$ 和 ${\alpha }_{2}$ 正交化和单位化，得到正交矩阵Q。正交化后得到的向量为 ${\alpha }_{1}=(0,1,0)^T$ 和 ${\alpha }_{2}=(2,0,1)^T$。单位化后得到的向量为 ${\alpha }_{1}=(0,1,0)^T$ 和 ${\alpha }_{2}=(\frac{2}{\sqrt{5}},0,\frac{1}{\sqrt{5}})^T$。特征向量 $\alpha$ 已经是单位向量，所以不需要单位化。因此，正交矩阵Q为：
$$
Q=\begin{pmatrix}
0 & \frac{2}{\sqrt{5}} & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{\sqrt{5}} & -2
\end{pmatrix}
$$
步骤 4：求正定矩阵C
由于 ${C}^{2}={A}^{*}$，我们需要先求出 ${A}^{*}$。因为A是实对称矩阵，所以 ${A}^{*}=|A|{A}^{-1}$。已知A的特征值为 ${\lambda }_{1}={\lambda }_{2}=1$ 和 ${\lambda }_{3}=4$，所以 $|A|={\lambda }_{1}{\lambda }_{2}{\lambda }_{3}=4$。因此， ${A}^{*}=4{A}^{-1}$。由于 $A=Q\Lambda {Q}^{T}$，其中 $\Lambda$ 是对角矩阵，所以 ${A}^{-1}=Q{\Lambda }^{-1}{Q}^{T}$。因此， ${A}^{*}=4Q{\Lambda }^{-1}{Q}^{T}$。因为 ${C}^{2}={A}^{*}$，所以 $C=2Q{\Lambda }^{-\frac{1}{2}}{Q}^{T}$。其中， ${\Lambda }^{-\frac{1}{2}}$ 是对角矩阵，其对角线上的元素为 ${\lambda }_{1}^{-\frac{1}{2}}$， ${\lambda }_{2}^{-\frac{1}{2}}$ 和 ${\lambda }_{3}^{-\frac{1}{2}}$。因此， ${\Lambda }^{-\frac{1}{2}}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}$。所以， $C=2Q{\Lambda }^{-\frac{1}{2}}{Q}^{T}$。