设随机变量 X, Y, Z 相互独立，且 E(X) = 5, E(Y) = 11, E(Z) = 8，求下列随机变量的数学期望：(1) U = 2X + 3Y + 1;(2) V = YZ - 4X.
设随机变量 X, Y, Z 相互独立，且 $E(X) = 5$, $E(Y) = 11$, $E(Z) = 8$，求下列随机变量的数学期望： (1) $U = 2X + 3Y + 1$; (2) $V = YZ - 4X$.
题目解答
答案
我们已知随机变量 $ X, Y, Z $ 相互独立，且数学期望分别为：
$E(X) = 5, \quad E(Y) = 11, \quad E(Z) = 8$
我们要求以下两个随机变量的数学期望。
（1）求 $ U = 2X + 3Y + 1 $ 的数学期望
利用数学期望的线性性质（无论变量是否独立都成立）：
$E(U) = E(2X + 3Y + 1) = 2E(X) + 3E(Y) + E(1)$
常数的期望是它本身，所以 $ E(1) = 1 $。
代入已知值：
$E(U) = 2 \times 5 + 3 \times 11 + 1 = 10 + 33 + 1 = 44$
（2）求 $ V = YZ - 4X $ 的数学期望
$E(V) = E(YZ - 4X) = E(YZ) - E(4X)$
同样利用期望的线性性质：
$E(V) = E(YZ) - 4E(X)$
现在需要计算 $ E(YZ) $。由于 $ Y $ 和 $ Z $ 相互独立，所以有：
$E(YZ) = E(Y) \cdot E(Z) = 11 \times 8 = 88$
而 $ E(X) = 5 $，所以：
$E(V) = 88 - 4 \times 5 = 88 - 20 = 68$
最终答案：
（1）$ E(U) = \boxed{44} $
（2）$ E(V) = \boxed{68} $
解析
本题主要考察随机变量数学期望的性质，包括线性性质和独立随机变量乘积的期望等于期望的乘积这两个核心知识点。
（1）求$U = 2X + 3Y + 1$的数学期望
关键思路：数学期望的线性性质——对于任意随机变量$X_1,X_2,\dots,X_n$和常数$a_1,a_2,\dots,a_n,b$，有$E(a_1X_1+a_2X_2+\dots+a_nX_n+b)=a_1E(X_1)+a_2E(X_2)+\dots+a_nE(X_n)+b$，且该性质与变量是否独立无关。
计算步骤：
$\begin{align*}E(U)&=E(2X + 3Y + 1)\\&=2E(X) + 3E(Y) + E(1)\\&=2\times5 + 3\times11 + 1\quad(\text{代入}E(X)=5,E(Y)=11,E(1)=1)\\&=10 + 33 + 1\\&=44\end{align*}$
（2）求$V = YZ - 4X$的数学期望
关键思路：
- 线性性质：$E(YZ - 4X)=E(YZ)-4E(X)$；
- 独立随机变量乘积的期望：若$Y$与$Z$独立，则$E(YZ)=E(Y)\cdot E(Z)$。
计算步骤：
$\begin{align*}E(V)&=E(YZ - 4X)\\&=E(YZ) - 4E(X)\\&=E(Y)\cdot E(Z) - 4E(X)\quad(\text{因}Y\text{与}Z\text{独立})\\&=11\times8 - 4\times5\quad(\text{代入}E(Y)=11,E(Z)=8,E(X)=5)\\&=88 - 20\\&=68\end{align*}$