题目
16.(15分)已知椭圆C: (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1(a>b>0)的离心率为(sqrt(2))/(2)，长轴长为4，(1)求C的方程；(2)过点(0，-2)的直线l与C交于A、B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为sqrt(2)，求|AB|.
16.(15分)
已知椭圆$C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，长轴长为4，
(1)求C的方程；
(2)过点(0，-2)的直线l与C交于A、B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为$\sqrt{2}$，求|AB|.
题目解答
答案
为了解决这个问题，我们将按照以下步骤进行：
1. 确定椭圆的方程。
2. 找出直线 $ l $ 的方程。
3. 确定交点 $ A $ 和 $ B $ 的坐标。
4. 计算三角形 $ OAB $ 的面积。
5. 找出线段 $ AB $ 的长度。
### 第1步：确定椭圆的方程
已知椭圆 $ C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ 的离心率为 $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ 和长轴长为4，我们可以找到 $ a $ 和 $ b $ 的值。
长轴长为 $ 2a = 4 $，所以 $ a = 2 $。
离心率 $ e $ 由 $ e = \frac{c}{a} $ 给出，其中 $ c = \sqrt{a^2 - b^2} $。已知 $ e = \frac{\sqrt{2}}{2} $，我们有：
\[
\frac{c}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \sqrt{4 - b^2} = \sqrt{2} \implies 4 - b^2 = 2 \implies b^2 = 2 \implies b = \sqrt{2}
\]
因此，椭圆的方程为：
\[
\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1
\]
### 第2步：找出直线 $ l $ 的方程
直线 $ l $ 通过点 $ (0, -2) $。设直线的方程为 $ y = kx - 2 $。
### 第3步：确定交点 $ A $ 和 $ B $ 的坐标
将 $ y = kx - 2 $ 代入椭圆方程：
\[
\frac{x^2}{4} + \frac{(kx - 2)^2}{2} = 1 \implies \frac{x^2}{4} + \frac{k^2x^2 - 4kx + 4}{2} = 1 \implies \frac{x^2}{4} + \frac{k^2x^2}{2} - \frac{4kx}{2} + \frac{4}{2} = 1 \implies \frac{x^2}{4} + \frac{k^2x^2}{2} - 2kx + 2 = 1
\]
\[
\frac{x^2}{4} + \frac{2k^2x^2}{4} - 2kx + 2 = 1 \implies \frac{(1 + 2k^2)x^2}{4} - 2kx + 1 = 0 \implies (1 + 2k^2)x^2 - 8kx + 4 = 0
\]
设这个二次方程的根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $。根据韦达定理，我们有：
\[
x_1 + x_2 = \frac{8k}{1 + 2k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{4}{1 + 2k^2}
\]
对应的 $ y $-坐标为 $ y_1 = kx_1 - 2 $ 和 $ y_2 = kx_2 - 2 $。
### 第4步：计算三角形 $ OAB $ 的面积
三角形 $ OAB $ 的面积由下式给出：
\[
\text{面积} = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 - x_2 y_1 \right| = \frac{1}{2} \left| x_1 (kx_2 - 2) - x_2 (kx_1 - 2) \right| = \frac{1}{2} \left| kx_1 x_2 - 2x_1 - kx_1 x_2 + 2x_2 \right| = \frac{1}{2} \left| 2(x_2 - x_1) \right| = \left| x_2 - x_1 \right|
\]
我们还知道：
\[
\left| x_2 - x_1 \right| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \sqrt{\left( \frac{8k}{1 + 2k^2} \right)^2 - 4 \cdot \frac{4}{1 + 2k^2}} = \sqrt{\frac{64k^2}{(1 + 2k^2)^2} - \frac{16}{1 + 2k^2}} = \sqrt{\frac{64k^2 - 16(1 + 2k^2)}{(1 + 2k^2)^2}} = \sqrt{\frac{64k^2 - 16 - 32k^2}{(1 + 2k^2)^2}} = \sqrt{\frac{32k^2 - 16}{(1 + 2k^2)^2}} = \frac{4\sqrt{2k^2 - 1}}{1 + 2k^2}
\]
已知面积为 $ \sqrt{2} $，我们有：
\[
\frac{4\sqrt{2k^2 - 1}}{1 + 2k^2} = \sqrt{2} \implies 4\sqrt{2k^2 - 1} = \sqrt{2}(1 + 2k^2) \implies 16(2k^2 - 1) = 2(1 + 2k^2)^2 \implies 32k^2 - 16 = 2(1 + 4k^2 + 4k^4) \implies 32k^2 - 16 = 2 + 8k^2 + 8k^4 \implies 8k^4 - 24k^2 + 18 = 0 \implies 4k^4 - 12k^2 + 9 = 0 \implies (2k^2 - 3)^2 = 0 \implies 2k^2 = 3 \implies k^2 = \frac{3}{2} \implies k = \pm \frac{\sqrt{6}}{2}
\]
### 第5步：找出线段 $ AB $ 的长度
线段 $ AB $ 的长度为：
\[
AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (k(x_2 - x_1))^2} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2(1 + k^2)} = \left| x_2 - x_1 \right| \sqrt{1 + k^2}
\]
我们已经知道 $ \left| x_2 - x_1 \right| = \sqrt{2} $ 和 $ k^2 = \frac{3}{2} $，所以：
\[
AB = \sqrt{2} \sqrt{1 + \frac{3}{2}} = \sqrt{2} \sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{5}
\]
因此，线段 $ AB $ 的长度为：
\[
\boxed{\sqrt{5}}
\]
解析
考查要点：本题主要考查椭圆的标准方程求解、直线与椭圆的位置关系，以及三角形面积与线段长度的计算。
解题思路：
- 椭圆方程求解：利用长轴长确定$a$，结合离心率公式求出$b$，直接写出椭圆方程。
- 直线与椭圆交点：设直线方程为$y = kx - 2$，代入椭圆方程联立，得到关于$x$的一元二次方程。
- 三角形面积计算：通过行列式公式表达面积，结合韦达定理求根与根的关系，建立方程求解$k$。
- 线段长度计算：利用根的差及斜率$k$，结合两点间距离公式求$|AB|$。
破题关键：
- 离心率与$a$的关系：通过离心率公式$e = \frac{c}{a}$和$c = \sqrt{a^2 - b^2}$建立方程。
- 面积表达式化简：将面积转化为根与根的差的绝对值，简化计算。
- 根与系数关系：利用韦达定理表达根的和与积，避免直接求根。
第（1）题
已知条件：
- 长轴长为$4$，即$2a = 4 \implies a = 2$。
- 离心率$e = \frac{\sqrt{2}}{2}$，由$e = \frac{c}{a}$得$c = \sqrt{2}$。
- 由椭圆关系$c^2 = a^2 - b^2$，代入得$b^2 = 2$。
椭圆方程：
$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1$
第（2）题
设直线方程
设直线$l$的方程为$y = kx - 2$，代入椭圆方程：
$\frac{x^2}{4} + \frac{(kx - 2)^2}{2} = 1$
化简得：
$(1 + 2k^2)x^2 - 8kx + 4 = 0$
根与系数关系
设根为$x_1, x_2$，则：
$x_1 + x_2 = \frac{8k}{1 + 2k^2}, \quad x_1 x_2 = \frac{4}{1 + 2k^2}$
三角形面积计算
面积公式：
$\text{面积} = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 - x_2 y_1 \right| = \left| x_2 - x_1 \right|$
根的差：
$\left| x_2 - x_1 \right| = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \frac{4\sqrt{2k^2 - 1}}{1 + 2k^2}$
由面积$\sqrt{2}$得方程：
$\frac{4\sqrt{2k^2 - 1}}{1 + 2k^2} = \sqrt{2} \implies k^2 = \frac{3}{2}$
线段长度计算
$|AB| = \left| x_2 - x_1 \right| \sqrt{1 + k^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{5}{2}} = \sqrt{5}$