函数f(x)在区间[1,2]上有定义，则f(x)满足（）A. 有最大值B. 连续C. 有界D. 单调时一定有界

本题考查函数在区间上的性质，包括最大值、连续性、有界性以及单调性与有界性的关系，解题思路是根据函数的相关定义和性质，对每个选项逐一进行分析判断。

选项A

函数在区间$[1,2]$上有定义，并不一定有最大值。例如函数$f(x)=\begin{cases}1, & x = 1\\2, & x\in(1,2)\\3, & x = 2\end{cases}$，在区间$[1,2]$上有定义，但它没有最大值，因为在开区间$(1,2)$内函数值无限趋近于$2$但取不到$2$，同时还有端点值$1$和$3$，不存在一个最大的函数值，所以选项A错误。

选项B

函数在区间$[1,2]$上有定义，不一定连续。连续的定义是$\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$对于区间内的每一个$x_0$都成立。例如函数$f(x)=\begin{cases}1, & x = 1\\2, & x\in(1,2)\\3, & x = 2\end{cases}$，在$x = 1$处，$\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = 2\neq f(1)=1$，不满足连续的定义，所以该函数在区间$[1,2]$上不连续，选项B错误。

选项C

函数在区间$[1,2]$上有定义，不一定有界。有界的定义是存在正数$M$，使得对于区间内的任意$x$，都有$\vert f(x)\vert\leq M$。例如函数$f(x)=\frac{1}{x - 2}$，$x\in[1,2)$，当$x$趋近于$2$时，$f(x)$趋近于负无穷，不存在这样的正数$M$使得$\vert f(x)\vert\leq M$恒成立，所以该函数在区间$[1,2)$上无界，选项C错误。

选项D

若函数$f(x)$在区间$[1,2]$上单调，不妨设$f(x)$单调递增。则对于任意$x\in[1,2]$，有$f(1)\leq f(x)\leq f(2)$。取$M = \max\{\vert f(1)\vert,\vert f(2)\vert\}$，那么对于任意$x\in[1,2]$，都有$\vert f(x)\vert\leq M$，所以$f(x)$有界。同理，若$f(x)$单调递减，也有$f(2)\leq f(x)\leq f(1)$，同样可以找到一个正数$M$使得$\vert f(x)\vert\leq M$，即$f(x)$有界。所以函数在区间$[1,2]$上单调时一定有界，选项D正确。