11. 求 xy^2-e^x+y+x^3-25=0 所确定的隐函数的导数 (dy)/(dx)
题目解答
答案
对等式 $xy^2 - e^{x+y} + x^3 - 25 = 0$ 两边关于 $x$ 求导，得
$y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} - e^{x+y} \left(1 + \frac{dy}{dx}\right) + 3x^2 = 0.$
整理得
$y^2 + 2xy \frac{dy}{dx} - e^{x+y} - e^{x+y} \frac{dy}{dx} + 3x^2 = 0,$
即
$(2xy - e^{x+y}) \frac{dy}{dx} = e^{x+y} - y^2 - 3x^2.$
解得
$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 + 3x^2 - e^{x+y}}{e^{x+y} - 2xy}.$
答案：
$\boxed{\frac{y^2 + 3x^2 - e^{x+y}}{e^{x+y} - 2xy}}$
解析
本题考查隐函数求导的知识。解题思路是对给定的方程两边同时关于$x$求导，在求导过程中，对于含有$y$的项，要根据复合函数求导法则，将$y$看作是$x$的函数，然后通过移项、合并同类项等操作，解出$\frac{dy}{dx}$。
下面进行详细的求导计算：
已知方程$xy^{2}-e^{x+y}+x^{3}-25 = 0$，等式两边同时对$x$求导。
- 对于$xy^{2}$，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，其中$u = x$，$v = y^{2}$，$u^\prime = 1$，$v^\prime = 2y\frac{dy}{dx}$，所以$(xy^{2})^\prime = y^{2}+2xy\frac{dy}{dx}$。
- 对于$-e^{x+y}$，根据复合函数求导法则，令$u = x + y$，则$(-e^{x+y})^\prime = -e^{x+y}\cdot(1 + \frac{dy}{dx})$。
- 对于$x^{3}$，根据求导公式$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得$(x^{3})^\prime = 3x^{2}$。
- 常数$-25$的导数为$0$。
则方程两边求导后得到：$y^{2}+2xy\frac{dy}{dx}-e^{x+y}(1 + \frac{dy}{dx}) + 3x^{2}=0$。
接下来进行整理：
$\begin{align*}y^{2}+2xy\frac{dy}{dx}-e^{x+y}-e^{x+y}\frac{dy}{dx}+3x^{2}&=0\\(2xy - e^{x+y})\frac{dy}{dx}&=e^{x+y}-y^{2}-3x^{2}\\\frac{dy}{dx}&=\frac{y^{2}+3x^{2}-e^{x+y}}{e^{x+y}-2xy}\end{align*}$