证明:两整数a , b 互质的充分与必要条件是: 存在两个整数s, t 满足条件:as + bt = 1.

考查要点：本题主要考查互质的定义、贝祖定理（贝祖等式）的应用，以及充分必要条件证明的逻辑结构。

解题核心思路：

• 必要性：利用贝祖定理，将互质转化为线性组合的形式。
• 充分性：通过公约数的性质，反推最大公约数为1。

破题关键点：

1. 互质的等价定义：两数的最大公约数为1。
2. 贝祖定理：若两数的最大公约数为$d$，则存在整数$s,t$使得$as + bt = d$。
3. 公约数的传递性：任何公约数必须整除所有线性组合。

必要性证明

已知：$\gcd(a,b) = 1$
目标：存在整数$s,t$使得$as + bt = 1$
步骤：

1. 根据贝祖定理，若$\gcd(a,b) = d$，则存在整数$s,t$使得$as + bt = d$。
2. 代入$d = 1$，直接得$as + bt = 1$。

充分性证明

已知：存在整数$s,t$使得$as + bt = 1$
目标：$\gcd(a,b) = 1$
步骤：

1. 设$d = \gcd(a,b)$，则$d \mid a$且$d \mid b$。
2. 因此，$d \mid (as + bt)$，即$d \mid 1$。
3. 由于$d > 0$，唯一可能的正整数解为$d = 1$，故$\gcd(a,b) = 1$。