题目

20、计算iintlimits_(D)sqrt(4-x^2)-y^(2)dxdy，其中D是由x轴及曲线y=sqrt(2x-x^2)所围成的闭区间.

20、计算$\iint\limits_{D}\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}dxdy$，其中D是由x轴及曲线$y=\sqrt{2x-x^{2}}$所围成的闭区间.

题目解答

答案

将区域 $D$ 转化为极坐标系，其中 $D = \{ (r, \theta) \mid 0 \leq r \leq 2\cos\theta, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \}$。
被积函数 $\sqrt{4 - x^2 - y^2}$ 在极坐标下为 $\sqrt{4 - r^2}$，面积元素 $dA = r \, dr \, d\theta$。
积分变为：
$\iint\limits_{D} \sqrt{4 - r^2} \, r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\cos\theta} r\sqrt{4 - r^2} \, dr \, d\theta$
内积分计算得：
$\int_{0}^{2\cos\theta} r\sqrt{4 - r^2} \, dr = \frac{8}{3}(1 - \sin^3\theta)$
外积分计算得：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8}{3}(1 - \sin^3\theta) \, d\theta = \frac{12\pi - 16}{9}$
答案： $\boxed{\frac{12\pi - 16}{9}}$（或$\boxed{\frac{4\pi}{3} - \frac{16}{9}}$）

解析

本题考查二重积分的计算，解题思路是通过将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分来进行计算。具体步骤如下：

确定积分区域 $D$ 在极坐标系下的表示：
- 对于曲线 $y = \sqrt{2x - x^2}$，两边同时平方可得 $y^2 = 2x - x^2$，移项后得到 $x^2 + y^2 = 2x$。
- 在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，且 $x^2 + y^2 = r^2$，将其代入上式可得 $r^2 = 2r\cos\theta$，因为 $r\geq0$，所以 $r = 2\cos\theta$。
- 由于 $D$ 是由 $x$ 轴及曲线 $y = \sqrt{2x - x^2}$ 所围成的闭区域，所以 $\theta$ 的范围是 $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$，$r$ 的范围是 $0\leq r\leq 2\cos\theta$，即 $D = \{ (r, \theta) \mid 0 \leq r \leq 2\cos\theta, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \}$。
将被积函数和面积元素转化为极坐标形式：
- 被积函数 $\sqrt{4 - x^2 - y^2}$，将 $x^2 + y^2 = r^2$ 代入可得 $\sqrt{4 - r^2}$。
- 在极坐标系中，面积元素 $dA = r \, dr \, d\theta$。
计算极坐标系下的二重积分：
- 原积分 $\iint\limits_{D}\sqrt{4 - x^2 - y^2}dxdy$ 转化为极坐标形式为 $\iint\limits_{D} \sqrt{4 - r^2} \, r \, dr \, d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\cos\theta} r\sqrt{4 - r^2} \, dr \, d\theta$。
- 计算内积分 $\int_{0}^{2\cos\theta} r\sqrt{4 - r^2} \, dr$：
  令 $u = 4 - r^2$，则 $du = -2r \, dr$，当 $r = 0$ 时，$u = 4$；当 $r = 2\cos\theta$ 时，$u = 4 - 4\cos^2\theta = 4\sin^2\theta$。
  那么 $\int_{0}^{2\cos\theta} r\sqrt{4 - r^2} \, dr = -\frac{1}{2}\int_{4}^{4\sin^2\theta} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2}\int_{4\sin^2\theta}^{4} u^{\frac{1}{2}} \, du$。
  根据积分公式 $\int x^n dx = \frac{1}{n + 1}x^{n + 1} + C$（$n\neq -1$）可得：
  $\frac{1}{2}\int_{4\sin^2\theta}^{4} u^{\frac{1}{2}} \, du = \frac{1}{2}\times\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}\big|_{4\sin^2\theta}^{4} = \frac{1}{3}(4^{\frac{3}{2}} - (4\sin^2\theta)^{\frac{3}{2}}) = \frac{8}{3}(1 - \sin^3\theta)$。
- 计算外积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8}{3}(1 - \sin^3\theta) \, d\theta$：
  $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{8}{3}(1 - \sin^3\theta) \, d\theta = \frac{8}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin^3\theta) \, d\theta = \frac{8}{3}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\theta \, d\theta\right)$。
  - 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta$：
    根据积分公式 $\int 1 dx = x + C$ 可得 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta = \theta\big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$。
  - 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\theta \, d\theta$：
    $\sin^3\theta = \sin\theta(1 - \cos^2\theta)$，令 $t = \cos\theta$，则 $dt = -\sin\theta \, d\theta$，当 $\theta = 0$ 时，$t = 1$；当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时，$t = 0$。
    那么 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\theta \, d\theta = -\int_{1}^{0} (1 - t^2) \, dt = \int_{0}^{1} (1 - t^2) \, dt = \left(t - \frac{1}{3}t^3\right)\big|_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。
    所以 $\frac{8}{3}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3\theta \, d\theta\right) = \frac{8}{3}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}\right) = \frac{12\pi - 16}{9}$。